Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
самом деле, в случае, когда величина^А является оператором, можно ввести
б-функцию по переменным, на которые действует этот оператор, с
соответствующим интегрированием и перейти к рассматриваемому случаю.
Решение уравнения (4.1) является функционалом поля f(r), т. е. S (г,
г') = S \г, т1; / (5*)]. Уравнение (4.1) можно решать методом итераций,
выбрав в качестве нулевого приближения функцию S0. Усредняя полученный
ряд по ансамблю реализаций поля / (г), находим итерационный ряд для
функции <? (г, г'))>, в который будут входить все моменты поля / (г).
Далее удается, перегруппировав члены этого' ряда, выразить правую
часть^разложения через саму функцию <?)>. При этом возникают новые
неизвестные функции,1 [определяемые соответствующими итерационными
рядами, которые, по аналогии с квантовой теорией поля, называются
массовой и вершинной функциями. 1 s-
""г Рассмотрим вместо (4.1) вспомогательное уравнение
S \r, г ; Р+ т]1 = S0 (г, г')'+
+ J dry dr2 drnS0 (г, гг) А (гь г2, гя)[/ (г2) + ц (r2)] S \г9\ г'; / 4-
т|],
(4.1')
139
где г] (г) - произвольная детерминированная функция. Интересующую нас
функцию S (г, г') найдем, положив в (4.1') г| (г) = 0. т. е.
S (г, г') = S [г, r'\ f] - S [г, r'\ / ¦+ rj] |тп,=0-
Усредним уравнение (4.1'). Расщепляя корреляцию (fSy по формуле (2.2.5),
получаем уравнение
G[r,r';i]] = S0{r,r') +
-f <j)dr1dridr3S0(r,7\)A(t\,r2, r3)vi(ri)G[7'sr'-,\]} ¦+
-f ^ dr, dr2 drsSn (r, ri) A (n, r-2, r3) X
x <f Q,-2
S[r3,r';f+ ri]^>. (4.2)
idf (r)
Здесь функционал Qr [у (г)] = 0 [у (?•)], a 0 [v (r)] - лога-
рифм характеристического функционала поля / {г). Через функционал G [?*,
?*'; 1]] обозначена величина <S [г, г'; / -j- т^]>. Учитывая, далее, что
функционал S [г, г'; / + г|] является функционалом от аргумента / + г|,
можно заменить операцию вариационного дифференцирования по / на
дифференцирование по т) и переписать (4.2) в виде замкнутого уравнения в
вариационных производных, аналогичного уравнению Швингера в квантовой
теории поля:
G
[г, г'; rj] = S0 (г, г') -г ^ dn dr2 dr3S0 (г, n) А (гг, r2, r3) X
X ^11(^2)+ Qr
i6r\(r)
G[r3,r';r}]. (4.3)
Уравнение (4.3) для функционала G можно решать методом итераций,
выбрав в качестве нулевого приближения величину SQ(r, г'). Полагая в
полученном разложении т] = 0,' получаем итерационный ряд для функции (S
(?*, г'У).
Для упрощения дальнейшего изложения запишем уравнение (4.3) в
символическом виде (имея в виду, что не составляет труда на каяедом этапе
восстановить полную запись соответствующих выражений):
G = S0 + S9\(i\.+ Q[1±r])G. (4.3')
Введем теперь обратный к G функционал G-1 такой, что
G-XG = 1, GG~1 = 1. (4.4)
Здесь под единицей понимается соответствующая 6-функция. Введем в
рассмотрение также функционал
Г = --^, (4-5)
который назовем вершинным функционалом.
140
Варьируя (4.4) по полю г), получаем равенство
бг)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
назовем массовым функционалом.
Умножая теперь (4.7) справа на G-1 и слева на Sq1 (и интегрируя по
соответствующим аргументам), получаем уравнение для функционала G~l\
Варьируя (4.9) по полю г), получаем уравнение для функционала Г:
Система функциональных уравнений (4.7), (4.10) замкнута относительно
функционалов G и Г. Их решения, однако, связаны соотношением (4.6).
Уравнение (4.10) для Г можно решать итерациями, выбрав в качестве
нулевого приближения величину Л. Если выразить при этом вариационные
производные G по т] с помощью формулы (4.6), то мы придем к интегральным
уравнениям для Г и G с бесконечным числом членов, каждое из которых не
содержит других функционалов, кроме С и Г. Полагая г) = 0, можно получить
замкнутую систему интегральных уравнений. В частности, уравнение (4.7)
выглядит следующим образом:
и называется уравнением Дайсона.
Остановимся теперь более подробно на случае, когда поле / (г) является
гауссовским случайным полем с корреляционной функцией В (г, г') = </ (г)
/ (г')>. Тогда
S"1
- G-1 = Дг| + Q.
(4.9)
(4.10)
<S> = S0 + S0Q (S}, (Sy = S0 + <S> QS0, (4.7')
Qr [v (r)] = i ^ dr В (r, r)v (r)
и для массового функционала получаем выражение
Q = ABGT, а уравнения (4.7), (4.10) принимают
вид
G = So -}- 5оЛт](г -)- SqABGTG,
