Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 61

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 135 >> Следующая

i-1
содержащего бесконечные цепные дроби (4.50) с параметром (4.50'). Два
первых члена ряда (4.59') таковы:
Г (р, д) = Л {1 + Л2о*& (р) gx (q) Кх {р) Кх (?) + .. •}•
Если теперь z (t) - квадрат гауссовского марковского процесса, то,
используя конечномерную аппроксимацию (4.45), получаем
N
Z^(0= N <z'2> + ^}Zi(t)z{t). ,
(4.60)
В этом случае, как показано в данной главе, следует вместо (4.46) ввести
новые функции
Gzl (t, t') = <za (t) . .. z%i (t) S (t, t')) (G0 = G (t, ?)),
(4.61)
где 1=0, 1,. . .,[7V/2]. (Отметим, что функции с нечетным числом Zi
тождественно равны нулю.) Для них имеет место рекуррентное соотношение
"треугольного" типа, аналогичное уравнению (4.47). Следовательно, как
массовая, так и вершинная функции будут описываться конечными отрезками
цепных дробей типа (4.52),
(4.59). Полагая N <z2> о2 и N -> оо, получаем соответствующие
152
выражения уже в виде бесконечных цепных дробей, аналогичных формулам
(4.52'), (4.59'). Эти формулы имеют одинаковую структуру-, поэтому те
выводы, которые можно сделать для гауссовского процесса, будут
рправедливы и для квадрата гауссовского процесса.
При вычислении вершинной функции в случае телеграфного и гауссовского
процессов мы следовали "в лоб" методике, справедливой для произвольных
интегральных уравнений. Это было сделано с иллюстративной целью. Однако
для уравнения (4.18) можно сразу написать выражение для вершинной
функции, зная лишь решение уравнения Дайсона. В самом деле, согласно
равенствам 4.22) и (4.16) для уравнения (4.18) имеет место соотношение
A(S (t.,t0)S(t0, 0> =
= ^ d%id%2 <S (t - тг)> Г (tx - t0, t0 - t2) <5 (т2 - ?')>.
(4.62)
Пусть теперь случайный процесс г (t) - функция от процесса ?дг ОО,
определяемого формулой (4.45). Тогда для расщепления корреляции в левой
части (4.62) можно воспользоваться формулой (2.4.5), которая в данном
случае принимает вид
(S(t, t0)S(t0, *')> =
N
= ]Г, Cn-~f /yZ^о)- • A))><zi(M- ¦ -Zfc^o)S(to,t')>. (4.63)
/,¦=0 <z2>
Выполняя преобразование Лапласа по переменным (t - t0) и (to - О,
получаем равенство
N
<SS>", , = V -4тг G* (Р) Gk (?), (4.64)
ht <z>
где функции Gk описываются формулой (4.46). Следовательно, для вершинной
функции Г (р, q) получаем выражение
_ 1 ^ 1 Gk(P>Gk(4) ttc.^
Г(Р, Я)- л N (Zbk Go(P)Ga(q) ¦ (4-65)
0
Так, если в (4.18) z (t) = (t), то функции Ga (p) описываются
формулой (4.51) и мы приходим к формуле (4.59). Если же z (t) = =
(t), то в сумме (4.65) остаются только четные индексы к и
функции G2ic (р) определяются, как говорилось выше, решением уравнения
Дайсона. Переход к гауссовскому процессу осуществляется предельным
переходом N ->- оо, /V <z2> -> а2.
Остановимся теперь на приближениях, используемых обычно при анализе
стохастических уравнений.
153
Прежде всего рассмотрим гауссовский процесс. В этом случае массовая
функция связана с вершинной функцией формулой
Q(t-t') =
= Ло2 ^ dt1dt2 <S (t - ti)) Г (ti - t, t - t') exp {- a(t - t}}, (4.66)
где область интегрирования определяется условием положительности всех
аргументов. Выполняя в (4.66) преобразование Лапласа по (t - f), получаем
равенство
Q (Р) = А<т2 <-5'>р+а Г (р + а, р). (4.67)
Приближение Крейчнана соответствует замене в формуле (4.67)
Г (р + а, р) на А, а приближение Бурре - еще и замене на gx (р).
Решение уравнения Дайсона (4.20') определяется в первую очередь
полюсами или другими существенными особенностями функции g (р). Обозначим
особую точку для нее через р0. Тогда можно пренебречь всеми членами ряда
(4.59'), кроме первого, если выполнено условие
AV I gi (Ро) I2 |^i (Po) I2 < 1- (4.68)
Поскольку функции Ki (ро) сами содержат параметр (З2 =
= Л2ст2 | g! (р0) | 2, при |32<1 | К1 (р0) | - 1.
Таким образом, если выполняется условие
Р2 = Л2а2|&Ы12<1, (4-68')
то вершинную функцию Г (р, д) можно заменить величиной Л. Однако, как
было показано выше функция <5>Pt+ra также содержит малый параметр.
Поэтому в первом приближении по указанному параметру
Q Ср) = AWgl (р), (4.69)
что соответствует приближению Бурре. Этот результат можно получить также
с помощью метода ренормализационной группы [62, 63]. Таким образом,
приближение Крейчнана для данной задачи не имеет места, в то время как
приближение Бурре является первым шагом в асимптотическом разложении
решения по указанному малому параметру. Отметим, что аппроксимация
бесконечной цепной дроби в (4.52') конечным отрезком имеет графическую
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed