Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
операторное уравнение
/ (х) Рх (х) == V <fl2> g (х)-J.---^g(x)------1-----(3-38)
v + t (*) ' v-г to f (*)
Если теперь представить функцию Р", (х) в виде Рх (х) =
- [v + (х)] (х), то для (х) получаем дифференциальное
уравнение второго порядка по х:
= v<aiy-^s(x)^(x)- (3.38')
При v -> оо можно разложить среднюю величину в правой части
(3.37) в ряд по 1/v и получить стационарное УЭФ
/ (а) Рх (х) = -^Lg (х) ~ g (х) Рх (а:),
соответствующее гауссовскому дельта-коррелированному процессу z (t).
При рассмотрении стохастических уравнений с флуктуациями параметров в
виде обобщенного телеграфного процесса можно использовать и другой прием,
основанный на формуле дифференцирования (2.5.18), которая имеет вид
(i+ v)<F(z(0)fl([z(T)]> = <F(z (3.39)
при условии, что <F (z (t))y = <F (а)Уа = 0. Выберем в качестве F (z (t))
функцию
F(t) = F(z(t))=-i+\zit} -С0(%), (3.40)
где
С* (Я) = <а*/( 1 + Яа)>", (3.41)
а 1 - произвольный параметр. Функция F (t) обладает свойством z(t)F(t)=--
jr'F{t) + C1{\)-z(t)C0(k). (3.42)
Рассмотрим в качестве примера систему уравнений (3.5) с постоянными
матрицами А и В, где z (t) - обобщенный телеграфный процесс. Усредняя
(3.5), получаем уравнение
dt
130
--(Х>='А (х) + B(z(t)x'>. (3.6')
Согласно формуле дифференцирования (3.39)
t|-+v)<f(i)x(i)> = <F(i)^a> =
= A (F (t) х (t)} -j- В <z (t)F(t) x (?)>• (3.39')
Используя теперь равенство (3.42), можно переписать (3.39') в виде
тождества:
;(y+v)?-4+isj <^(<)ж>=
= ВСг (Щх) ~ ВС0 (А-) (z (?) х>. (3.43)
Выполняя преобразование Лапласа в (3.6') и (3.43), получаем незамкнутую
систему уравнений
(рЕ - А) <х>р - B(z (t) х>р = x0, j^(p + v) E - A + ~
<F (t) x>p = ВСг (k) <x)p - BC0 (K) <z (t) x)p,
(3.43')
1
справедливую для любого %. Полагая - = [А - (р + v) Е] В г,
К
обращаем в нуль левую часть второго уравнения, что дает алгебраическую
связь между величинами <х)р и <z (?) х)р, которая совместно с первым
уравнением (3.43') и позволяет получить решение, совпадающее,
естественно, с формулой (3.34').
Вернемся опять к стохастическим уравнениям (3.5) и будем считать, что
процесс z (t) имеет структуру
z (t) = zi (t) + ... + zlY (t), (3.44)
где Zi (?) - независимые телеграфные процессы с корреляцион-
ной функцией
<Z;(0 Zj{t')) = Si;- <z2.) exp {-a | t - ?' | }. (3.45)
Как было показано в конце первой главы, при N-*- оо (если по-
ложить (z2> = aVN) процесс (3.44) переходит в гауссовский марковский
процесс с корреляционной функцией
<z (?) z (?')> = ст2 ехр {-a \t - t' |}. (3.46)
Итак, рассмотрим уравнение
х = Ах + fzi (?) 4- ... + z.v (?)] х (0) = зс0. (3.47)
Введем вектор-функцию
%• (t) = <zi (г) ... z!; (t) x (?)>• (3.48)
Используя формулу (2.5.27) для дифференцирования корреляций
(3.48) и само уравнение (3.47), получаем рекуррентное уравнение для вида
122]
(¦Ж + ак) ^ = + <М0 • • • zk (t) [Zi (0 + . . . + ZN (t) 1 Bx> =
+ A:<z2> Б1^_г + (N - А:)Б%.+1 (/с = 0,1, .-. ., N). (3.49)
131
Таким образом, среднее значение решения системы (3.47) удовлетворяет
замкнутой системе N + 1 векторных уравнений. Если матрицы А и В не
зависят от времени, то система уравнений (3.49) может быть легко решена с
помощью преобразования Лапласа. Очевидно, что ее решение имеет вид
конечного отрезка цепной дроби. Если теперь принять значение <z2^> = oVN
и перейти к пределу N -+¦ оо, то, как говорилось выше, случайный процесс
2 (t) = ^zk(t) перейдет в гауссовский марковский процесс, а решение
системы уравнений (3.49) запишется в виде бесконечной цепной дроби, в
согласии с результатами более ранних работ [19, 45].
Из рассмотренного примера ясно, что обрезание бесконечной цепной
дроби в этом случае можно рассматривать как аппроксимацию гауссовского
случайного процесса конечным отрезком
N
ряда zu(t). Такая аппроксимация может оказаться полезной и при
1
флуктуациях параметров вида / (z (t)), где z (t) - гауссовский
марковский процесс. Так, например, в случае / (z (t)) = z2(t) - <z2 (ф
конечномерная аппроксимация имеет
N
вид / (z (t)) = 2 Zi(t) z* (t). В этом
t
1
5? (I)
1___
j№ W
i-O-O---- >-0-0----0-0---< )-
