Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
(1.9)
QMgiD-t-Fiix^Ptix),
i
(1.10)
P0(x) = b(x - x0),
P (x, t; xly tx) = <6 (X (t) - x) 6 (x (tj) - xjy,
dP
dt
1Л
с начальным условием
P {:x, tx; xx, h) = S (x - xx) Pu (xx),
(1.12)
<z (Ф = 0, <z (t) z (*¦')> = В (t, tf),
(1.13)
114
то уравнение (1.10) выглядит следующим образом:
о
и его можно рассматривать как обобщенное УЭФ. Заметим, что если мы теперь
введем новое время
Отметим, что к этому же уравнению приводит статистическая задача о
нахождении одноточечных характеристик решения системы уравнений
где г (т) - гауссовский дельта-коррелированный процесс, т. е.
Уравнение (1.14'), вообще говоря, может иметь стационарное решение.
Это стационарное распределение вероятностей не будет зависеть от
интенсивности флуктуаций z (t). Конкретный вид его определяется из
асимптотического вида решения (1.14') при т-^-оо, а время т (1.15),
связанное с интенсивностью флуктуаций z, будет определять время выхода на
стационарное распределение.
К задачам типа (1.1) приводит класс задач, описываемый системой
уравнений
-^± = z(t)Fi(x) - Xxi, х (0) = х0 (i = 1, . . . , N), (1.18)
где Ft (х) - однородные полиномы степени к. Вводя новые функции Xi (t) =
xt (t) exp {- %.t), мы придем к задаче (1.1) с g (t) = = ехр {- X (к - 1)
t}. В важном частном случае (к = 2) и при функциях Fi (х) таких, что xtF\
(х) - 0, система уравнений (1.18) описывает системы гидродинамического
типа с линейным трением [54]. При этом взаимодействие между компонентами
носит случайный характер.
Для систем гидродинамического типа при Я = 0 и для любой реализации
процесса z (t) имеет место закон сохранения энергии: х\ = 2Е = const. В
этом случае имеется стационарное распределение вероятностей Рх1эс),
которое является равномерным распре-
11
(1.15)
о
о
то уравнение (1.14) примет вид
(1.14')
Р0(х) = Ь(х - х о).
ах-
-j- = z(x)Fi(x), х(х = 0) = х0,
(1.16)
<z (т)> = 0, <?' (т) г (т')> = 26
(т - т).
(1.17)
АХ;
115
делением па сфере х\ = 2Е, если пет дополнительных интегралов движения.
При наличии дополнительных интегралов движения (как это имеет место,
например, при конечномерной аппроксимации двумерного движения жидкости)
стационарное распределение вероятностей будет сосредоточено па области
фазового пространства, допускаемой интегралами движения.
Рассмотрим теперь класс линейных уравнений
dx-
~аГ= Aik (t)xk -I- U(t), x (0) = xa, (1.19)
где А (t) - детерминированная матрица, a f (t) - случайная век-тор-
функция с заданным характеристическим функционалом Ф< [v (т)].
Для плотности вероятностей решения уравнения (1.19), Pi (х) = <б (х
(t) - х)У, имеем
-= ~ Аа x*Pt (*) + <^( [тёш]~Х)У ¦
(1.20)
В рассматриваемой задаче вариационная производная 8x(t)/8f (т)
удовлетворяет уравнению
d 6z. (0 6:r,. (t)
{x<t) (1-21) с начальным
условием, вытекающим из (1.19):
Ьх- (t)
'u =6" (1.22)
бf} (т)
Уравнение (1.21) с начальным условием (1.22) уже не содержит случайностей
и определяет функцию Грина Gtj (t, х) для однородной системы (1.19), т.
е.
дх. It)
Gi}(t, х).
(1.23)
Следовательно,
6 &(x(t)-x) = -±G1t](t,z)b(x(t)-x) (1.24)
б/3(т) v 'w > dx^
и (1.20) превращается в замкнутое уравнение
дР( (ж) а
dt дх-
Ац- (t)xiiPt (х) + 6*
Pt(x), (1.25)
конкретная форма которого определяется видом функционала (c)t \v (т)].
Из уравнения (1-25) следует, что уравнение для любого момента
величины x(t) будет замкнутым линейным уравнением, содержащим только
конечное число кумулянтных функций, порядок которых не превосходит
порядка рассматриваемого момента.
116
Аналогичным образом для двухвремепной плотности вероятностей Зд (,",
t; хг, tx) = <б i-сЦ) - х) 6 (х (t}) - получаем
уравнение
где Ptl (xj) - одноточечная плотность вероятностей, описываемая
уравнением (1.25). Из вида уравнения (1.26) следует, что процесс х (t),
соответствующий уравнению (1.19), не является марковским процессом.
Для гауссовского процесса с корреляционной функцией
и (1.25) принимает вид обобщенного уравнения Эйнштейна - Фоккера:
В настоящее время другие классы уравнений, допускающих замкнутое
