Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 55

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 135 >> Следующая

L (w + v) <F W = <F (0 L{lf)x (*)> =
*+i=-o
- 2 4-?+'K*<fl'<<>-?*w>. <*•*>
t+.?=0
Используя теперь равенство (3.42), правую часть (3.65) можно переписать
следующим образом:
-? Ч-ж- + ')'{-х<'<,>-уаг<*>> +
>+:;=о
+ Cl (Ь) Д- <* (i)> - Со (X)(z (t) Л- X (i) >} =
= -Г М [Лт + v' IF + v] <F (г) *(i)> - ri W X
4]<*>+ C^M[m + +v]<*(0*(0>. (3.66)
Следовательно, уравнение (3.65) принимает вид
{Ч?+')-хда[4 + *4 + \|}<''<"*">>-
= -f.М [т + '• ж] <*> + C.(Wи[I- + V.-I + "] <">
(3.67)
с начальным условием <F (t) х (?)> |(==0 = 0-
Выполним теперь преобразование Лапласа в (3.64) и (3.67).
В результате получаем алгебраическую систему
L (р)(х)р -г М [р, р 4- v]<zx>p = / (р),
\l(p+ v)-----[р+ V,p j- v]J <F{t)x(t))p =
= -¦ Cl {Ц M Ip V, p](x>p + Со (к) M fp + V, p + v](zx)p. (3.68)
Формулы (3.68) справедливы для любой величины X. Положим теперь
Я = Яр = М [р + v, р -J- х\/Ь (р 4- v). (3.69)
137
В результате второе уравнение (3.68) дает алгебраическую связь между <z
(t) х (фр и (х)р:
<z (*> * )>р'= vr; !>'jV(х)р' (3-70)
где
'(р) = <aV(L (р + v ) + аМ [р + v, р + v])>a.
Подставляя (3.70) в первое уравнение (3.68), получаем алгебраическое
уравнение для <ж)р, решение которого имеет вид
<,>"-/")[I(р)+'(ЗЛ1)
Отметим, что выражение (3.71) другим путем впервые было получено в работе
[55].
§ 4. Методы квантовой теории поля в динамике стохастических
систем (стохастические интегральные уравнения)
Для задач, рассмотренных в предыдущих параграфах, удается получить
замкнутое статистическое описание благодаря тому факту, что эти задачи
соответствуют системе дифференциальных уравнений первого порядка по
времени с начальными условиями при t = 0. Для них выполняется условие
причинности, сформулированное в третьей главе, которое заключается в том,
что решение задачи в момент времени t определяется ^только флуктуациями
параметров системы в моменты времени t' ^ t и не зависит от них при t' >
t.
Условие причинности, однако, может выполняться и для задач,
описываемых интегральными уравнениями, которые, вообще говоря, не всегда
сводятся к системе дифференциальных уравнений. Для таких задач останутся
справедливыми все рассуждения, подробно описанные в книге как для дельта-
коррелированных флуктуаций параметров, так и для флуктуаций параметров в
виде процессов телеграфного типа.
Однако прежде чем рассматривать такой класс стохастических уравнений,
остановимся на общих методах статистического описания динамических
систем, заимствованных из квантовой теории поля. Суть их заключается в
построении ряда теории возмущений для статистических характеристик
интересующей нас величины и в исследовании его методами, развитыми в
квантовой теории поля. При этом каждый член ряда удобно представлять
графически (в виде так называемых диаграмм Фейнмана), так что каждому
элементу графика сопоставляется определенная функция или оператор, т. е.
каждый график соответствует определенному аналитическому выражению. Мы не
будем рассматривать диаграммную технику как таковую (подробное ее
описание для статистических задач см., например, в монографиях [29], [30]
и в обзорных ра-
138
ботах [56], [57]), а получим основные результаты непосредственно,
используя функциональные методы, развитые выше [58].
Исходным стохастическим уравнением является линейное интегральное
(или интегро-дифференциальное) уравнение для функции Грина:
S(r,r') = S0 (r,r') +
+ J dridr2drsS (r, n) A (ru r2, r3) / (r2) S (r3,V), (4.1)
где через г обозначены все аргументы функций S и /, включая и индексные,
по которым интегрирование заменяется суммированием. Функция / (г)
является случайным полем, а функция S0(r, г') является функцией Грина
задачи в отсутствие флуктуаций параметров, т. е. при / (г) - 0. Величина
А (гь г2, г3) в ряде задач может быть и оператором. Тогда запись
уравнения в форме (4.1), подразумевает, что оператор действует на все,
что стоит справа от него. Переход от нелинейной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений к уравнению типа (4.1) осуществляется с
помощью эквивалентного линейного стохастического уравнения в частных
производных (уравнения Лиз^вилля), характеристиками которого является
решение соответствующей системы. Функция S в этом случае будет функцией
Грина для стохастического уравнения Лиувилля, а величина А связана с
дифференциальным оператором. Для задач, описываемых линейной системой
уравнений, величина А (гь г2, г3) оказывается функцией.
Для простоты будем далее считать А функцией, а не оператором.
Операторный характер А несущественно усложняет дальнейшее рассмотрение. В
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed