Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
характеристического функционала процесса z (t), совпадающее, естественно,
с уравнением (1.4.55).
Выше мы рассматривали векторные системы уравнений (3.47),
(3.50), определяемые матрицами А и В. Если же интересоваться средним
значением только одной компоненты, то для нее можно получить операторное
уравнение
(3.54)
i+J=0
1 n w*
/ d \
где оператор L \ = 2л a% (t) n - порядок матриц А и В в
134
(3.47), (3.50). Начальные условия для величины х включены с помощью
соответствующих производных 8-функции в функцию / (t). Отметим, что при
этом функция f(t) может зависеть и от значений производных случайного
процесса z (t) при t = 0, т. е. / (t) - тоже случайная функция,
статистически связанная с z (t).
Уравнение вида (3.54) для марковских процессов z (if) рассматривалось
в работе [55], где было получено в случае постоянных во времени at(t) и
btj(t) выражение для преобразования Лапласа среднего значения (х}р в виде
цепной дроби (конечной или бесконечной) для различных марковских
процессов. Получим этот результат для гауссовского марковского процесса,
используя развитые выше методы.
^Пусть сперва z (t) = zt(t) -f ••• +z_v (t), где zt(t) - независимые
телеграфные процессы. Тогда имеет место тождество (2.5.28):
fc
= И + al) . ¦ .zi(t)Rt[z(x)]y, (3.55)
где R,[z (т)] - произвольный функционал процесса z (т) (т ^ t).
Рассмотрим функции
¦фгОО = (z^t) ... zt(t) х (ф, 1 = 0, 1, . . ., N. (3.56)
Согласно (3.54) и (3.55) для этих функций получаем замкнутую систему
рекуррентных операторных уравнений
+ ^)b(t)= <zi(f). . . z, (t)L{~)x(t)y =
П-1
= Fl{t)~ M0<^i(*). . . zi(t) X i+j=0
+ • + ""("))¦!•*>-
= Ft (t) - I <z3> M [A -j- ah ± + a (I - 1)] if,_i -
f aZ, -A- -f- ot(Z 4-1)] -фг+11 1 = 0,1,..., N, (3.57)
где приняты обозначения работы [55]: М
[р, g] = 'Lbijp%q\ а
Fl (t) = (zi(t) ... zi (t) f (t)y. Если оператор L и btj не зависят от
t, то система уравнений (3.57) с помощью преобразования Лапласа сводится
к алгебраической системе
L (р + al) 'фг(р) =
- Fi (р) - I <z2> М [р + al, р -f а (I - 1)] я|)м (р) -
- (N - I) М [р. + al, р + а (I + l)]i|;,-+i (р).
(3.58)
135
В частном случае, когда /(/) в (3.54) не зависит от Zf,(t)(Fl(p) = = /
(р) б;,"), уравнение (3.58) легко решается и решение имеет вид конечного
отрезка цепной дроби [22]:
^о(р) = f(p) К0(р), Kt(p) = \At{p) - В tip) К1+1(р)]'х, (3.59)
где
A i (р) = L (р + al), В, (р) - <z2> (/ -j- 1) (N
- I) М [р + al, р + а (/ + 1 )i X
X Л/ [р 4- а (/ -р 1), р 4* а/)].
(3.60)
Если N = 1, т. е. рассматривается случай одного телеграфного процесса,
то решение (3.59) принимает вид, соответствующий двум этажам цепной дроби
[55]:
= / (р) L ip) L {р . _ а) _ <.2> м (1) м _г а, • (3-
59)
Если теперь положить <z2> = a2/N и устремить N к оо, то получим решение
для гауссовского марковского процесса z (t)
в виде бесконечной ценной дроби (3.59) с параметрами A i{p) = L {р -f
al),
В[(р) = сг2(/ -г 1) М [р + al, р + а (/ + 1)] М [р + а (/ + 1), р +
а/]. (3.60')
Это соотношение было также получено в работе [55]. Совершенно
аналогичным путем находим выражение для (х}р в виде конечного отрезка
цепной дроби (3.59) и в случае
Z (0 = 1% - <?2V> (Ы0 = Zi(0 + ... +МФ с параметрами [22]
А ь(р) - L (р + 2al) + 4/ (N - 21) <z2> М [р + 2а/, р -|- 2а /], В
tip) = 2(N.- 21) iN - 21 - 1) il + 1) (21 + 1) <z2>2 x
X M [p + 2а {I -j- 1), p + 2a/] M [p + 2al, p + 2a il -j- 1)] (/ =
0, 1, . . ., IN/2\). (3.61)
Полагая <z2> = a2/N и переходя к пределу N -^ оо, получаем решение
задачи в случае z it) = ?2(/) - <?2(/)>, где ? (t) - гауссовский
марковский процесс, в виде бесконечной цепной дроби
(3.59) с параметрами
Atip) = L ip + 2al) 4аЧМ \р + 2al, р -j- 2a/],
(3.62)
В tip) = 2о4(/ + 1) (21 + 1) М [р + 2a (/ + 1), р + 2a/] X X М \р + 2aI,
р + 2a (/ + 1)]. (3.63)
Пусть теперь 2 (/) в (3.54) - обобщенный телеграфный процесс. Будем
считать для простоты, что начальные условия для
(3.54) не зависят от з it) и величины аг и Ьц являются постоянными.
Усредним уравнение (3.54) с учетом формулы (3.55), которая
136
справедлива и для обобщенного телеграфного процесса с (а} -
- О (см. § 5 гл. 2):
L (тг) ('" + м [4- ' 4i +v] <z w x> =/ (3-64)
Рассмотрим функцию (F (t) x (i)>, где F (t) описывается формулой (3.40).
Согласно формуле дифференцирования (3.39) эта функция удовлетворяет
уравнению
