Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 58

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 135 >> Следующая

оо
Q [у] - ~г Kn+iVn,
п~о
где Кп - кумулянтные функции случайного поля / (г). Следовательно,
массовый функционал (4.8) легко записать в виде
оо
71=0
где вариационные производные по г) от функционала G вычисляются по
формуле (4.6). Структура уравнения Дайсона в этом случае очень сложна.
Обычные пути упрощения этого уравнения совершенно аналогичны случаю
гауссовских флуктуаций параметров. Если считать, что Г = Л, то выражение
(4.6) принимает вид
= GAG и, следовательно,
оо
-yj- = п\ (GA)n G == J dX в-"- (GXA)n G.
При этом мы приходим к обобщенному уравнению Крейчнана:
(?) = 5о -f- SoQup (S')'
ОС оо
<?кр = л 2 Кп-Ы "5> Л}" = Л J dXer^l [<?> ХА]. (4.14')
п-о о
144
Если же в (4.14') заменить <?> в QKV на S0, то получаем обобщенное
уравнение Бурре:
\$У = S0 S0Qq (S),
(?б = А ^dle-^П [S"?iA],
(4Л5)
о
которое совпадает с так называемым "одногрупповым приближением уравнения
Дайсона", построенным в работе [61].
Рассмотрим теперь простейшее одномерное интегральное уравнение,
следуя работе [23]:
/
s (t, О = g (t - t') 0 (t - t') + A j dx g (t - X) z (t) S (T, t'),
(4.18)
о
где z (t) - случайная функция времени, g (t - t') - детерминированная
функция, Л - постоянный параметр, а 0 (() - ступенчатая функция. Итерируя
это уравнение, замечаем, что его решение S (t, t') зависит от случайной
функции z (т) лишь при t' х t, т. е. выполняется условие причинности
-*4^ -0 при t<r, X >*, (4.19)
причем S (t, t') ~ 0 (t - t'). Усредним уравнение (4.18) по ансамблю
реализаций функции z (t). Для стационарного процесса z (t) <S (t, t')y =
(S (t - t')y и, следовательно,
<S(* _f')>'=g(f-O0(f-O +
t X
+ J dx g (t - т) J dx'Q (t - x')(S(x' - t')), (4.20)
0 0
где Q (t) ~ 0 (t) - массовая функция, определяемая с помощью равенства
!
Л <z (t) S (t, t')y = J dx Q (t - x)(S (x - t')y. (^-
21)
о
Выполним в (4.20) преобразование Лапласа по переменной t - t'. В
результате получаем
<^>р = g (р) + g (р) Q (р) <Syp,
(4.20')
где
A<z(t)S(t, t')yp = Q (р) <Syp.
(4.21')
(Если интегральное уравнение (4.18) сводится к дифференциальному
L (Aj ^ {t, t') = Az (t) S(t,t') + 6(t- t'),
TO g (p) = L~l (p).)
145
Для определения структуры функции Q (р) следует, согласно
вышесказанному, рассмотреть вспомогательное уравнение
где т) (г) - произвольная детерминированная функция. Если усреднить
уравнение (4.18') и обозначить его решение через G [t, t'\ г] (г)], то
вершинная функция Г (t, tlt t') = Г (t - tu tx - t') определится
равенством
Вариационная же производная 6G/6tj при т] = О связана с вершинной
функцией Г и средней функцией Грина соотношением
где область интегрирования определяется условием положительности всех
аргументов. Выполняя в (4.22) преобразование Лапласа по переменным t - h
и tx - t', получаем равенство
позволяющее найти преобразование Лапласа от вершинной функции. Массовая
функция при этом связана с характеристическим функционалом процесса z
(t). Величину 6G/6t], стоящую в левой части равенства (4.23), можно
получить, варьируя уравнение (4.18') по г) (ix), полагая затем >] = 0и
усредняя полученное уравнение. Если удается выполнить усреднение в
уравнении (4.18'), то величина 6G/6r] определяется при варьировании его
по т).
Перейдем теперь к реализации описанной схемы для различных процессов
z (t).
Пусть z (t) - телеграфный процесс с корреляционной функцией
G (t, t') - g(t - t')Q(t - t') + A ^dxg(t - x)r\(x)G (t, t') +
$ [t, t') = g (t - t') 0 (t - t') + A j dr g (t - t) (t) S (t, t') +
0
(4.18')
0
6 G
^ dxi dx2 <S (t - ti)> Г (ti - tx, - x2)(S (t2 - t')),
(4.22)
-5^- (P. 4) = <-5>РГ (p, q)(S}q,
(4.23)
<z (t) z (t')> = <z2> exp {- a | t - t' |}.
(4.24)
Усредним уравнение (4.18'), в результате получаем
о
t
+ А ? dxg(l - x)(z(x)S (x,t')). (4.25)
О
146
Уравнение (4.25) не замкнуто, так как содержит новую неизвестную функцию
<z (х) S (т, ?)у. Чтобы получить уравнение для этой функции, умножим
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed