Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 57

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 135 >> Следующая

(4.11)
Г = Л + ABGTGT + ABG - .
1 бг]
(4.12)
141
Полагая теперь г| = 0, получаем замкнутую систему уравнений: \Sy = S0 +
S0Q <<S'} (уравнение Дайсона),
Q = AB (Sy f,
f = A + AB (SyT (SyT + ... (Г = Г|11=0). (4.13)
Система уравнений (4.13) очень сложна и в настоящее время еще мало
изучена. Простейший путь ее упрощения заключается в обрывании
бесконечного ряда в уравнении для Г- Если это сделать на самом первом
шаге, то придем к замкнутому нелинейному уравнению (приближение Крейчнана
[59])
(Sy = S0 -f S0Qap <S>, 0KP = AB (Sy A. (4.14)
Если теперь в выражении для массовой функции <?кр заменить <iSy на 1S0,
то получим линейное уравнение (приближение Бурре [60])
<5> S0 + S0\BS0\ <5>. (4.15)
Отметим, что четких условий применимости приближений (4.14),
(4.15) в общем случае в настоящее время не имеется.
Функционал Г и, следовательно, функция Г тесно связаны с величиной
<SSy. В самом деле, легко видеть, что уравнение (4.1) эквивалентно
функциональному уравнению
~S Щ'г0)~] - - \ dVl dr,lS Г1' Я Л (Г1' Г°' Г2) S fГ ' Я (4-16)
с начальным условием
S w, г'; f)j=o = S0 (г, г').
Действительно, записывая уравнение (4.1) в символическом виде
S = S о + S0\fS,
можно представить его решение с помощью итерационного ряда
5 - {1 + S0Af+ (S0\fY + ...} So-
Проварьируем теперь уравнение для S по функции / (г0). В результате
приходим к уравнению
-^L^So/^bS + SoV-^-
(через б обозначена б-функция по соответствующим аргументам), решение
которого можно записать аналогичным образом в виде итерационного ряда
^ - {1 + SoAf -|- (50А/)2 S0A diS,
или, с учетом выражения для S, получить (4.16). Следовательно, 142
выражение (4.0) при rj = 0 можно переписать в виде
<5Л5> = <5>Г<5>. (4.16')
Таким образом, различные приближения для функции Г эквивалентны
определенным гипотезам расщепления корреляции (SSy. Так, приближение
Крейчнана (4.14) соответствует равенству
(SAS) = <5> Л <5>,
а приближение Бурре (4.15) эквивалентно требованию
в {SAS} = S0A(S>.
В общем же случае, расщепляя корреляцию (SS) с помощью формулы^ (2.3.4),
получаем операторное выражение
{SAS} - G ^G[r)]|n=0
эквивалентное, по своей сути, введению вершинной функции.
Отметим теперь, что в случае гауссовского ноля / (г) знание
функционала G [г, г'\ г|1 эквивалентно знанию функционала Ф [г, г', v] =
<<S' (г, г') ехр {i^dr f (г) v (г)}), описывающего все статистические
корреляции функции S (г, г') с полем / (г). В самом деле, согласно
формуле (2.3.9) можно записать функционал Ф в виде
Ф [г, г', v] = <^ехр (i ^ dr / (г) v (г) ]у> X
X <(s [г, г'; / (г) + i § driB (г, n) v (п)]^> ,
откуда получаем равенство Ф [г, r'\ I?] = <^ехр -ji ^ drf(r)v (J')}^> X
X G [г, г'; i ^ dr-Ji (г, Ti) v
(r:)] .
Остановимся теперь для полноты картины на так называемом методе
перенормировки. Дело в том, что даже при известной массовой функции
уравнение Дайсона (4.13) представляет собой сложное интегральное
уравнение, решить которое в аналитическом виде удается далеко не всегда.
В то же время уравнение Дайсона с упрощенной массовой функцией может быть
в ряде случаев легко решено. Метод перенормировки заключается в том, что
записывают уравнение Дайсона в виде интегрального уравнения, в которое
вместо функции S0 входит решение упрощенной задачи.
Обозначим решение уравнения Дайсона (4.13) с упрощенной массовой
функцией Q через S. Тогда функция S будет удовлетворять уравнению
.
S = S0 + S0QS. (4.13')
143
В силу того, что уравнение (4.13') является линейным по S, его,
очевидно, можно переписать также в виде
S - $о + SQS0 = (1 -j- SQ)S0, (4.17)
где через 1 обозначен единичный оператор.
Для исключения функции S0 из уравнения Дайсона (4.13) подействуем на
него оператором (1 + SQ). Тогда с учетом равенства (4.17) получаем
уравнение
<S>= S+ S{Q-Q}(S}. (4.13")
Уравнение (4.13") можно теперь решать методом итераций, выбрав в
качестве нулевого приближения функцию S.
При Q - 0 функция S = S0 и мы возвращаемся к уравнению Дайсона
(4.13). Приведенный выше вывод уравнения (4.13") справедлив, очевидно, не
только для гауссовского поля /, но и для поля / любой другой природы, так
как уравнение Дайсона имеет один и тот же вид для любого поля /.
Остановимся теперь на уравнении Дайсона общего вида (4.7). Заметим,
что функционал Q [у] может быть представлен с помощью ряда Тейлора по v:
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed