Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
о ' о it
(3.29)
Вернемся теперь к общему случаю процесса z (t) вида (1.3.26), где а
- случайная величина с заданным распределением вероятностей р (а). Как
указывалось выше, в этом случае, вообще говоря, невозможно получить
замкнутое уравнение для характеристического функционала и, следовательно,
невозможно провести замкнутое описание динамических систем. Остается
единственная возможность решения задачи, заключающаяся в том, чтобы
рассматривать величину а как детерминированную. Если при этом удается
написать явное решение такой задачи, то окончательный результат
получается последующим усреднением по случайной величине а.
127
Пусть теперь z (t) - обобщенный телеграфный процесс. В этом случае
имеет место формула для расщепления корреляций (2.4.15'):
(z (it) Rt [z (т)]> = (aRt [я]) e~v( -f-
t
+ V fj dt! exp {- V (it - (x)} (dR/ [t 1, a, z (t)]>,
(3.30)
0
где
Rt [ti, a, z (t)] = Rt [a0 (t - tx) + z (t) 0 (tx - t)], (3.31)
а случайная величина а статистически независима от процесса z (it).
Формулу (3.30) можно использовать для анализа стохастических
уравнений, содержащих линейным образом процесс z (t), аналогично формуле
(3.1). В самом деле, если Rt - решение системы уравнений первого порядка
по времени с начальными условиями при t = 0, то функционал Rt Uj, a, z
(т)] будет представлять собой решение той же задачи, в которой величина z
(t) заменена на величину а для интервала времен it tx. Начальное условие
для этой задачи таково: Rt, К, a, z (т)] = Rtl [z (т)]. Следовательно,
средняя величина в правой части (3.30) будет выражаться через величины,
содержащие только одновременные средние функционала Rtl [z (t)]. Для
линейных же систем правая часть (3.30) будет просто выражаться через [z
(т)]>. Так, например, для линейной системы (3.5), где z (t) - обобщенный
телеграфный процесс, а А и В - постоянные матрицы, имеем, согласно
(3.30),
(х) = А ('х) + В <z (t) х (t)} - А (Xs) + R (ах [a]> e~vt + t
+ vB j dti exp f- v (it - ^)} (ax [tu a, z (t)]>.
(3.32)
о
Функционал x, согласно (3.31), удовлетворяет уравнению
= Ах + аВх (t t{)
(3.33)
с начальным условием
х\/=(l = x(t1).
Следовательно, функционал х Ux, a, z (т)] имеет вид х = ехр {(А + аВ) (t
- tx)}x (tx) и уравнение (3.32) становится интегро-дифференциальиым:
-^-(х)> - А (х) + e~viB (а ехр {(А + аВ) it}> х0 +
1
+ v j dt! ехр {- v (t - tx)} В (а ехр {(А + аВ) (t - ^)}> (х (*i)>,
(3.34)
128
с начальным условием <х (0))> = х0. Уравнение (3.34) может быть легко
решено с помощью преобразования Лапласа. В результате получаем
<жр> = {Е - vC}~1Cx0,
(3.34')
где С = <{(р + v) Е - А - аВ}~1')а, а Е - единичная
матрица.
В случае же задачи (3.13) величина ф* (х) будет удовлетворять
уравнению
<9ф. (.г) л
-- = - {[/ (*> t) -f ag (X, t)\ф,
(x)} (3.35)
с начальным условием фг, (х) = <ptl (х), решение которого
имеет
вид) с учетом операции упорядочения по времени 71-экспоиенты)
t
ф, (х) = ехрг ~ U dx [/ (х, т) + ag (х, т)]} ф(, (х).
и
Следовательно, уравнение для плотности вероятностей решения задачи (3.12)
примет замкнутую операторную форму (тильду у а далее опускаем):
pt (ж) = - ~ [/ (х, t) Р, (ж)] -
t
~ e~vl ё (х' ^ ехрг Uс1х м т)+ag р° ^ ~
о
t
~v iLg(x' ts> S *irT<i"i,) x 0
i
X <(a expT {- ? U dx \ f (x, x) -f ag (x, t)]j^> Pu (a-).
(3.36)
ti
Стационарное же. распределение вероятностей, если оно существует,
удовлетворяет операторному уравнению (/ (х, оо) = / (х), g (х, оо) = g
(х))
f (х)Рао (х) =
со
= - Vg (х) ^ dx e~VT <^а ехр {- т [/ (х) + ag (^)]|^>^оо (х),
О
которое можно записать также в виде
f(x)Pao(x) = - vg(x)/-----------2----------------\Рсо (X).
(3.37)
v+ + "?(*)] '
129
Чтобы перейти от уравнения (3.37) к дифференциальному уравнению,
требуется знать конкретное распределение вероятностей случайной величины
а.
Пусть, например, интенсивность флуктуаций величины а достаточно мала
и <аУ = 0. Тогда, разлагая оператор в правой части
(3.37) в ряд по а и ограничиваясь членами порядка <я2>, получаем
