Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
] (3-18)
(If (x) I < a I g {x) I),
(3.19)
*) Так как для этой задачи динамическое уравнение записано в
безразмерном времени, величина v будет безразмерной.
Згде В (v, 1/2) - бета-функция. -Это распределение вероятностей имеет
существенно разный вид в случаях v 1 и v < 1, что схематически изображено
на рис. И. Из вида распределения следует, что в случае v _> 1 система
проводит основное время вблизи состояния х = 0, а в случае v < 1 система
находится в окрестностях точек х = -1; 1, в соответствии с физическим
смыслом исходной
Рис. 11. Стационарное распределение вероятностей для решения уравнения х
= -х z (г) в зависимости от параметра v.
динамической задачи. В случае же v = 1 получаем равномерное распределение
вероятностей на отрезке [-1, 1).
Отметим, что при v ->¦ оо распределение вероятностей (3.19) переходит
в гауссовское распределение
{х) = |/~ехр {- vx2},
соответствующее гауссовскому дельта-коррелированному процессу z (t). В
случае же v0 распределение вероятностей (3.19) переходит в распределение
Рос (х) = 6 {х2 - 1),
в соответствии с результатами первого параграфа этой главы.
В качестве другого примера нелинейной системы рассмотрим задачу о
влиянии конечности времени корреляции случайных сил на движение частицы в
поле U (х). Движение частицы будем описывать стохастической системой
уравнений
д[/(х) ' , ...
Х = У, У =------^------+ [IZ (t)
(х (0) = -ха, у (0) = г/," z2 = 1), (3.20)
где функцию z (t) будем считать по-прежнему телеграфным процессом.
Производя выкладки, аналогичные выводу уравнения
(3.17), получаем операторное уравнение для совместной стационарной
плотности вероятностей координаты частицы х и ее скорости у:
LPx(x,y) = [i2-§fl-^-T^Px(x,y), (3.21)
125
При v -> оо уравнение (3.21) переходит в стационарное УЭФ:
В общем же случае уравнение (3.21) описывает искажение распределения
(3.22) за счет конечности времени корреляции т0 = 1/2 v процесса z (t).
Уравнение (3.21) можно переписать в виде уравнения в частных
производных:
При выводе (3.23) используется формула дифференцирования
где Е-единичный оператор. Дифференцируя это равенство по а,, получаем
Умножая теперь (3.25) справа на оператор а), получаем формулу (3.24).
Уравнение (3.23) имеет достаточно сложный вид, и, по-видимому, решить его
для произвольного поля U (х) затруднительно. Легко видеть, однако, что
решение уравнения (3.23) уже не будет являться функцией одной только
энергии частицы, как это имеет место в (3.22), а также то, что координата
и скорость частицы будут уже статистически зависимыми величинами.
Прежде чем перейти к различного рода обобщениям рассмотренного
процесса, остановимся еще на одном интересном приложении теории
телеграфных случайных процессов. В третьей главе было показано, что
решения некоторого класса уравнений в частных производных могут быть
интерпретированы как результат усреднения определенного функционала по
случайному, дельта-коррелированному во времени процессу. Аналогичная
ситуация имеет место и для телеграфного случайного процесса. Следуя книге
1РХ (х, у) = ^~Р00{х, у),
(3.21')
решение которого соответствует распределению Гиббса:
(3.22)
{<
2v L)2 L - р2 (2v L) ^2---------------------------A, (2v -{- L) L +
(3.23)
обратного оператора Z,-1 (а):
В самом деле, по определению обратного оператора
Г-1 (a) L (а) = Е (L (а) Ь~г (а) = Е),
(3.25)
126
Каца [36], рассмотрим задачу Коши для детерминированного волнового
уравнения с линейным трением
d'zF (t, х) 9 dh (г, х) 2 д'21 (t, х)
,ч 9Д.
-Р- + 2v -at- = у " a** (d'Zb>
с начальными условиями
F(0, х) = ц>{х), (х). (3.26')
Уравнение (3.26) можно переписать в виде интегро-дифференциаль-ного
уравнения
м (t, х) _ , 2 г " а^/. (tlt г)
^ (ж) е-ду< + V2 dt, ехр {- 2v (t - fr)) -^ x)- ¦
(3.27)
0
Если теперь ввести вспомогательное стохастическое уравнение
~дТ~ = ) e'm + vz(t) - tx • ' / (0, ж) = <р (ж),
(3.28)
где z (t) - телеграфный случайный процесс (z2 = 1), то из предыдущего
изложения очевидно, что F (t, х) = </ (t, х)~}. Решение уравнения (3.28)
имеет вид
t t t f (t, x) = cp {x + v ] dx z(t)j -J- ^
dtle-'1''1'^ {x -^-v^dxz (t)j ,
и, следовательно, решение уравнения (3.26) с условиями (3.26') можно
представить в виде статистического среднего по процессу z:
t t t F (t, x) = <^ф [x v ^ dx z (t) j'/' -f- J
d^ie_2V,> {x -\-v^dxz (x))^> .
