Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Марковские процессы общего вида
Рассмотрим теперь стохастические уравнения вида
¦^- = fi(t,x,z(t)), -х (0) = х0 = (2.1)
где ft (t, х, ") - детерминированные функции своих аргументов, a s (t) =
{zt (t), . . ., zn (t)} - векторный марковский процесс, плотность
вероятностей перехода которого описывается
уравнением (см. гл. 1)
; (2.2)
Наша задача заключается в построении статистических характеристик
решения уравнения (2.1), если мы знаем статистические характеристики
процесса z (?), например его кинетический оператор Lz. В общем случае
произвольного марковского процесса г (t) сказать что-либо о самом
процессе ж (t) не представляется возможным. Можно лишь утверждать, что
совокупность двух процессов {х (t), z (t)} является марковской. В самом
деле, в § 5 гл. 2 было показано, что для произвольного марковского
процесса z (t) имеет место формула дифференцирования
д / dR. [(; т(г)} \
- <6 (z (t) -g)Rt[t;z (т)1> = <б (z (t) - (r))-----t----+
+ L.<&{z(t)-z)Rt[t; *(т)]>, (2.3)
справедливая для произвольного функционала Rt [i; z (т)] (т < О-Возьмем
в качестве функционала Rt [?; z (т)] функцию
Rt U; " (т)] = 6 (ж (t) - х), (2.4)
где х (t) - решение уравнения (2.1). Тогда функция Rt U; ж (т)]
удовлетворяет уравнению
dR. i)
- =- (2.5)
которое является стохастическим уравнением Лиувилля для данной задачи.
Отметим, что в этом случае корреляция, стоящая слева в (2.3), оказывается
одноточечной совместной плотностью вероятностей для процессов ж (t) к z
(t). Следовательно, с учетом (2.5) формула дифференцирования (2.3)
принимает вид замкнутого уравнения для одноточечной плотности
вероятностей:
- Р, (ж, z) = LgP[ (ж, ?) - (t, X, z) Pi (Ж, z). (2.6)
Очевидно, что и плотность вероятностей перехода для процесса (ж (t), z
(t)) также удовлетворяет уравнению (2.6), т. е. процесс (ж (t), ж (t))
является марковским процессом. При этом процесс г (t) может быть сам
связан с дельта-коррелированным процессом z (t) с помощью стохастических
дифференциальных уравнений типа уравнений (3.1.1). Пусть, например,
процесс z (t) имеет вид, представленный на рис. 9. Для такого процесса
справедливо динамическое уравнение
z (t) = 2 (f),
где 2 (t) - дельта-коррелированный пуассоновский процесс. Поэтому можно
написать уравнение для плотности вероятностей ре-
120
шения расширенной динамической задачи (динамическая задача
(2.1) плюс новая переменная z (t)). Аналогичный процесс представлен на
рис. 10. В этом случае z (t) удовлетворяет динамическому уравнению с
релаксацией
z - - az + z (t),
где z (t) - по-прежнему дельта-коррелированный пуассоновский процесс.
Если бы нам удалось решить уравнение (2.6), то, интегрируя его
решение по z, мы бы получили плотность вероятностей решения
Щ.
Рис. 9. Пример случайного процесса, описываемого уравнением z (t) = z (t)
(z (t) --
пуассоновский 8-коррелиро-ванный процесс).
Рис. 10. Пример случайного процесса с релаксацией, описываемого
уравнением z = - - az z (t) (z (г)) - пуассоновский б-коррелированБ.ый
процесс).
уравнения (2.1), т. е. Pt (ж). В этом случае процесс х (t) уже не будет
марковским. Существует несколько типов процессов " (t), для которых
удается перейти от уравнения для Pt (ос, z) непосредственно к уравнению
для Pt (ж), не решая (2.6). Это прежде всего процессы телеграфного типа
(телеграфный и обобщенный телеграфный процессы, марковские процессы с
конечным числом состояний и гауссовский марковский процесс). Остановимся
на этих случаях более подробно.
§ 3. Процессы телеграфного типа
В § 4 гл. 2 для расщепления корреляций в случае телеграфного процесса
получено соотношение
t
<z (t) Rt [z (т)]> == al dtx exp {- 2v (t - h)} Rt lz (т)Г> ,
0
где функционал Rt [z (т)] определяется формулой
Rt [z (т)] = Rt lz (г) 0 (*, - т + 0)]. (3.2)
121
Формулу (3.1) можно использовать для анализа стохастических
уравнений, содержащих процесс z (t) линейным образом. Пусть функционал Rt
[z (х)] - решение некоей системы дифференциальных уравнений первого
порядка по времени с начальными условиями при t - 0. Тогда функционал Rt
[z (т)] будет описываться той же системой уравнений, где вместо процесса
z (t) будет стоять величина z (t) 0 {tx - t). Следовательно, для времен t
^>tx функционал Rt [z (т)] = Rt [0] и описывается этой же системой
уравнений при z.= 0 с начальным условием /7j=il [z (т)] = = Rtl [z (т)].
Поэтому функционал Rt [z (т)] имеет структуру
Rt [z (т)] = Rt (t, t±\ Ru [z (x)]) (Rtl [z (x)] = Rti [z (x)]).
