Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
(4.18') на z (t) и усредним: г
(z(t)S (t,t')y = Л J dxg{t - t)t](t)<z(*)? (Т, t)} -f
О
t
+ Л j dx g (t - т)<z (t) z (t) S (t, t)). (4.26)
о
Учитывая теперь формулу (2.4.10)
<z(?) Rv [z (t)]> = exp {-a (t - it')} <z (?) Rv [z (t)]>,
справедливую для произвольного функционала Rv [z (т)] такого, что t ?,
получаем уравнение (z2 (t) = <z2>)
(z(t)&(t, ?)} = А ^ dx g (t - т) г) (т) ехр {- a (t - t)}<z(t) S (t, ?)}
+ о
t
-f Л <z2) J dx g (t - t) exp {- a (t - t)} G (x, ?). (4.27)
о
Система уравнений (4.25), (4.27) уже замкнута. Полагая в ней г] = 0 и
выполняя преобразование Лапласа по переменной (t - ?), получаем
алгебраическую систему уравнений
<?>р = g (р) + Ag (р) (zSyv, ^28)
<zS}p = A <z2> g (p + a) (S}p, решение которой
таково:
<s>,-
p 1 - A2<z2>g(p)g(p + a) '
(A9Q\
z "с\ _ Л <z2> g (p) g (p a) ' '
'
V?p 1 - Л2 <z2> g (p) g (p + a)
При этом, согласно (4.21'), массовая функция Q (р) равна
Q (Р) = Л2 <z2> g (р + а).
(4.30)
Для нахождения вершинной функции проварьируем (4.25), (4.27) по г]
(t±), положим г) = 0 и выполним преобразование Лапласа по переменным (t -
tx) и (tx - ?). В результате получим алгебраическую систему уравнений
(р, q) -Лg (PKSyq + Ag (р) <г? ^
<(z д = ^(р + aKzS><г + л <22> ^ (Р + а) - (р, д),
решение которой с учетом (4.28) имеет вид
(р, q) = A <^)р{1 + Л2 <z2> g (р + a)g(q + а)}<Syq. (4.32)
147
Сравнивая (4.32) с формулой (4.23), получаем для вершинной функции
выражение
Г (Р, Я) = Л {1 + Д2 <z2> g (Р + °0 g (Ч + ")}• (4.33)
Пусть теперь z (t) - обобщенный телеграфный процесс с корреляционной
функцией (4.24). Усредняя (4.18'), получаем уравнение (4.25). Далее,
согласно третьему параграфу^ данной главы, следует написать уравнение для
функции (F\ (t) S (t, t')>, где
^<'> = т-гЬг-с"(Ч- с>&-<ттхг>. "*""-">•
а К - произвольный параметр. Умножая (4.18') на F% (t) и усредняя,
находим
(Fx(t)S(t,t')y =
i
= A dxg(t - х) ехр {- а (" - т)} г)(т)(^(т)6 (т, t')> -
О
t
- А Ц dxg(t - х) ехр {-а (t - х)} j-i- <FK (т) & (т, ?) -
О
- Cl {%)G(х, t') + Co(k)(z (x)S (т, ?')>}. (4.34)
При выводе уравнения (4.34) мы воспользовались равенством
(2.5.20)
(t) Rv lz (т)]> = exp { - a (t - *')} <F% (t') Rt/ [z (t)]> (t > t')
и тождеством
z (t) F% (t) = - ~ Fx (t) + С,! (X) -CoCk)z(t).
Для нахождения массовой функции положим в (4.25) и (4.34) 1] = 0 и
выполним преобразование Лапласа. В результате получим систему уравнений
<$>р = g(p) + Лg (Р) <zS}p,
(F\ (t) S (t, t')% {1 +Ag(P+ a)/k} =
= Ag (P + °0 {Ci M <S>p - C0 (X) <z (t) S (t, t')}p},
справедливую при произвольном значении параметра к. Пола-
гая
I = 1р = - A g(p + a), (4.35)
получаем алгебраическую связь между <z?% и <5>р:
<2 (t) S (t, t')}p = <S>pCi (Xp)/C0 (Xp), (4.36)
и следовательно,
<S>V = 1_Ag(p)Cilkp)IC0(kv) ¦ <4'37>
148
С учетом (4.36) функция </'\ (t) S (t, t')yp для произвольного значения
X имеет вид
хр <S>p [Сх (Ц С0 (Хр) - С" (*,) С, (Хр)}
'Fk(t)S(t,t'))
(1 - %Р!Х) и0 (У
(4.38)
Массовая функция, как следует из (4.36), в этом случае равна
Q (р) = АСх (Хр)/С0 (Хр). (4.39)
Для нахождения вершинной функции проварьируем уравнения (4.25),
(4.34) по 1] (ti), положим ri = 0 и выполним преобразование Лапласа. В
результате имеем систему уравнений
йС
St}
(р, д) = Ag (p)(Syq -I- Ag (p) <(z ^~y
P, 0
Fx
6S
6r|
P, Q
A
1 -^-gip u) = Ag (p + a)(FkSyq +
+ Ag (P + a)-^ (X) AL (p, q) - C0 {X)(z J . (4.40)
Полагая в (4.40) X = Xv, получаем алгебраическую систему уравнений для
6G/6r| и <z6S/6ri>, решение которой с учетом (4.37), (4.38) таково:
6G
бг)
(p,q)-
- л / с\ 1-1 , л g(P + a)g(q+a)
-л<6>р|1 + л7(р-+ ay_-g(-+a)
Oi(\)
Cx(Xq)
C0(V
следовательно, вершинная функция равна
r(p,g)=A(l + A-f^t°)-g(g + °)
е (Р + a) - g (Ч + а)
Ci(кр)
О0(\)
с1(Xq)
(4.41)
^0(Хр)
С о (ХЛ
(4.42)
Если распределение вероятностей для величины а имеет вид р (a) = у
[б (а - а0) + 6 (я + aQ)\, то Сг (Х)/С0 (X) = ~ Ха\ и мы возвращаемся к
