Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
случаю телеграфного процесса с параметром <z2> = al. Если же а -
непрерывная случайная величина "а> = = 0) и дисперсия ее достаточно мала,
то С0 (X) гг; 1, Сх (X) гг; гг; -X <а2> и для вершинной функции
получается равенство
Г (р, q) = А {1 + Л2 <a2> g (р + a) g (д + а)}. (4.43)
Однако выражение (4.43) справедливо только при выполнении очевидных
неравенств
| X2 I <я*> <1 (X = Xv, Хг). (4.44)
149
Пусть теперь 2 (t) - гауссовский процесс с корреляционной функцией
<2 (t) z (t')y = о2 exp {- а| t - t' |}. (4-24')
Как показано в § 4 гл. 1, его можно получить предельным переходом N оо из
процесса
In (t) = z± (t) + . . . + zN (t), (4.45)
где zt (t) - статистически независимые телеграфные процессы, у которых
<z2) = a2!N. Итак, рассмотрим уравнение (4.18'), в котором z (t) = In
(t), и введем функции
(t, О = <Zl (t). . (t) S (t, i')> (G0 (t, f) = G (t, O). (4.46)
Умножая (4.18') па (t). . ,zt (t), усредняя и используя формулу
(2.4.10), можно найти рекуррентное уравнение (/ = (), 1,. . N)
Gi (t, t') = g (t - if') 0 (i - t.') 61' о + t
-f A ^ dx g (t - t) exp {- a I (t - t)} r) (t) G( (t, t') -f
0
t
+ Л ^ dx g (t - x) exp {- a I (t - t)} ;< о
X {/ <Z2> 6?(_! (t, t') 4- (N - 0<?г+г (т, <')}. (4.47)
Полагая i] = 0 и выполняя преобразование Лапласа по (t - ?'), получаем
алгебраическое рекуррентное соотношение
Gi (р) = go (р) б г,о + Agz (р) {Z <z2> Сг_! (р) +
+ (iV- Z)GI+1(P)}, (4.48)
ГДе gi (Р) = g(p + "О-
Решение уравнения (4.48) имеет вид конечного отрезка цепной дроби
G, (р) = Agl (р) I <z2> Kl (р) G(р), г = 1,. . ., N, (4 49) Gq(p) =
go (р) Ко (р),
где
к {р) ,
(4.50)
yi = А2 <z2> (I + 1) (N - 1) gi (р) gl+i (р).
Следовательно,
Gt (р) = A' (z2yll\ {gl (р) Кг (р)}! g0 (р) Ко (р), (4.51)
где через {/;}! обозначено произведение . ./г.' Учитывая, что (t) S (t, f
)>я = NGi (p), находим выражение для массовой функции
<?lV (р) = A2N <z2> gl (p) (p). (4.52)
150
Полагая <z2)> = a2//V и переходя к пределу 7V-> оо, получаем массовую
функцию для гауссовского марковского процесса
Q (р) = A2CT2g-x (р) Кг (р), (4.52')
где Кг (р) - бесконечная цепная дробь (4.50) с параметром
уi = А2ст2 (I + 1) gt (р) ?г+1 (/?). (4.50')
Перейдем теперь к вычислению вершинной функции. Варъирук
(4.47) по г) (ty), полагая т] = 0 и выполняя преобразование Лапласа по
(t - itj) и (ty - it'), получаем рекуррентное соотношение
&Gi ,
я) =
= Agi (Р) Gi (q) + Ag, (p) jZ (z2) (p, q) + (N - I) -^±1 (p, ?)} .
(4.53)
Решение уравнения (4.53) можно представить в виде
<"*>
г=0
где величина 6G;l)/6r] удовлетворяет уравнению 6G,(i)
?) =
г 6G(i) 5 G(i) ~)
= Ag,(p)Gi(q)6!ti+Agl(p)^l(z2>~g~(p, '7) + ('V -(p, <?)| •
Решение последнего уравнения представляет собой конечную цепную дробь
-^~(р, q) =
Ьц
=А 1 {gi (Р)}'- i^i-i (р)Л (/у - г)! 1 - Yi-J (Р) k-x (Р) ^ Vi (Р) Ki+1
(Р) ,(4'55) где
Li (р) = [1 - Ты (Р) Lt_i (р)Г1 (L0 (Р) = 1), (4.56)
a Kt(p) описывается формулой (4.50). Используя (4.56) и (4.50), легко
показать, что функции Кг (р) и Lt (р) связаны между собой равенством
\ - v- L- ¦- v • К.
Li_x * . = Ki. (4.57)
1 - V i-1 i-1 - i+1
Это позволяет исключить функции Lt (р) и переписать (4.55) следующим
образом:
, г+1 М
.(р, q) = Аг 1-Y(gi(P)Ki(p)}!go(p)Ko(p)Gi(q), 6i)
151
или, с учетом равенства (4.51), в симметричном относительно р и q виде:
6С<{>
д) =
= A^<z.y_^±_ Go {р) Go (д)^(р)ё{(д)К{(р)1и(д)}1.
(4.58)
Следовательно, для величины 6G0 (р, д)/Ьц можно, согласно (4.23),
написать выражение
~(р, q) = G0(p)rN(p, q)G0(q), где вершинная функция
(р, q) определяется формулой
Гn(p, q) =
N
= Л 1 -г Yj A2' ~'(7V~~i)T tei(p) Si (Я) Ki (p) Ki (?)}'¦ •
(4-59)
i=l
Полагая в (4.59) TV = 1, мы возвращаемся к случаю одного телеграфного
процесса, и формула (4.59) переходит в (4.33). Полагая теперь <za> = агШ
и переходя к пределу N оо, получаем вершинную функцию для гауссовского
марковского процесса в виде бесконечного ряда
Ос
Г(р, д)=Л |^1 + S?ji\\aa^{gi(p)gi{g)Ki{p)Ki{q)}\ , (4.59')
