Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 62

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 135 >> Следующая

интерпретацию и соответствует суммированию определенных диаграмм из
общего ряда теории возмущений для Q (р). Такая интерпретация дана в
работах [64].
Массовая функция (4.69) в приближении Бурре в точности совпадает с
массовой функцией для телеграфного процесса (4.30), для которого (так же
как и для обобщенного телеграфного процесса) отсутствует прозрачная
графическая интерпретация. Эта функция не содержит параметра (З2, тогда
как вершинная функция для телеграфного процесса (4.33) его содержит.
Поэтому при вы-
154
полпенни условия (4.68') Г ~ Л, что соответствует уже обобщенному
приближению Крейчпана. Аналогичным образом обстоит дело и в случае
обобщенного телеграфного процесса. В этом случае условия (4.44) и (4.68')
совпадают и можно пренебречь вторым слагаемым в правой части (4.43).
Массовая же функция (4.39) при этом также совпадает с массовой функцией
телеграфного процесса.
Таким образом, при выполнении условия (4.68') для всех
рассматриваемых процессов вершинная функция Г ~ Л, а массовая функция
совпадает с той, которая соответствует телеграфному процессу.
Выше мы рассмотрели вывод уравнения для средней функции Грина
(уравнение Дайсона). Аналогичным образом можно получить и уравнение для
корреляционной функции
Г (г, г'; /*1, r^)=<6,(r, ¦r')5*(rll i\)>.
Для этого умножим уравнение (4.1) на S* (/*i, и усредним по ансамблю
реализаций случайного поля / (г). В результате получаем уравнение
Г = 50<5*> + 50Л</55*>. (4.70)
Учитывая теперь уравнение Дайсона (4.7')
<5> = {1 + <5> Q) 50,
подействуем на (4.70) оператором {1 + (?}. В результате
получаем уравнение
Г = <5> <S*> + <S> {Л <fSS*> - QT}. (4.71)
Уравнение (4.71) можно переписать в виде уравнения
Г(<г, г'; гъ "*1) = (S(r, r'))(S*(r!, г[)У +
-f ^dridrjir-Jr^ (S (r, r2)> <S* (rx, r'2)> x
X K(r2, r.}, r'3)r(r-j, r'; r'3, r'J, (4.72)
которое называется уравнением Бете - Солпитера. Функция К (r2, r'ii гз,
гз) называется ядром оператора интенсивности. Простейшее приближение для
этого уравнения, так называемое "лестничное" приближение, соответствует
функции К вида
К (г2, г2; гз, гз) = б (г2 - г3) 6 (г' - г') В, (г2, г'), (4.73)
где Bf (г2, г2) - корреляционная функция поля / (г).
Рассмотрим более подробно простейшее интегральное уравнение (4.18),,
удовлетворяющее условию динамической причинности, где z (t) - гауссовский
6-коррелированный случайный процесс, т. е. гауссовский процесс с
корреляционной функцией
<2 (г) z (г')> = 2а2б (г - ?')¦
155
Усредняя уравнение (4.18), получаем равенство
t
(S (t, t')) = g(t - t')Q(t - t') + Да2 dig (t - T) <^'^j S (T. t'iy -
(4.74)
которое с учетом равенства
^fL = Ag(0)S(t, О (4.75)
принимает форму уравнения Дайсона с массовой функцией
Q (т, Tj) = o2A2g (0) б (т - Tj). (4.76)
Уравнение для корреляционной функции Г (4.71) в данном случае
принимает форму
г (t, t'-, tu g = <5 у, о> <s* (h, g> +
t
-f dx (S (t т)) |Ла2^- ^ S* (ty, t г)у +
0
+ 2<S(t, O^|^>]-AVg(0)r(t, Г; tl, g} . (4.77)
Учитывая теперь формулы (4.75) и (4.16), последняя из которых в данном
случае имеет вид
= A*s* *;>• уравнение (4.77) можно переписать
в виде уравнения
Г (", t'; h, g = <5(f, t'))(S*(tu g> +
(
+ 21 Л |2a2 j dx <S (t, t)> <S* (fb x) S (t, t') S* (t, g>. (4.78)
о
Теперь учтем то обстоятельство, что функция S* (?1; т) функционально
зависит от случайной функции z (т) при т ]> т, а функции S (т, t'), S*
(т, ti) - при т х и, следовательно, для дельта-коррелированного
случайного процесса z (т) статистически независимы. Тогда (4.78) можно
переписать в виде замкнутого уравнения
г (t, t'; h, Г) = <? (t, t')) <s* (h, g> + t
+ 21Л |2a2 j* dx <5 (t, t)> <5* (?b т)> Г (t, t, (4.79)
0
156
что соответствует уравнению Бете - Солпитера (4.72) с ядром оператора
интенсивности вида
К т^; Т2, та) =
=2 | Л | 2сг26 (tj - т{) 6 (т2 - Та) 6 (tj - т2). (4.80)
Таким образом, для 6-коррелированного процесса z (t) лестничное
приближение (4.73) является точным равенством.
В заключение отметим, что описанный функциональный подход можно
применять и к задачам, описываемым нелинейными уравнениями в частных
производных с флуктуирующими параметрами. При этом легко написать
линейное уравнение в вариационных производных для характеристического
функционала решения задачи и исследовать это уравнение аналогичными
методами (см., например, [65]).
Глава 5
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed