Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим также, что плотность вероятностей р (я, t |s0, ?0), как
функция своих аргументов, удовлетворяет не только уравнению (4.40)
(которое называется прямым уравнением), но и уравнению по переменной ?0
(которое называется обратным уравнением):
to) = Lip (*. 11 "о- *o), (4.41)
где - оператор, сопряженный к L*. Уравнение (4.41) удобно для анализа
задач, связанных с исследованием зависимостей от начальных
пространственно-временных точек (см., например, [39]).
Выше мы говорили о том, что все статистические характеристики
марковского процесса z (t) описываются только двумя функциями -
плотностью вероятностей перехода p(z, t | z0, t0) и одноточечной
плотностью вероятностей Pt(z). Однако, как мы увидим далее, для
статистического анализа стохастических уравнений нам надо все-таки знать
характеристический функционал случайного процесса.
Рассмотрим теперь вопрос о нахождении характеристического функционала
марковского процесса. В общем случае произвольного марковского процесса z
(t) получить замкнутое уравнение-для его характеристического функционала
ФДу (т)] = <cpt[i> (т)]>,
t
где ф( [v (т)] = exp {i ^ dr z (т) v (т)}, не удается. Можно, однако,
о
получить замкнутое уравнение для функционала
4% [z, v (т)] = <б (z (t) - z) фt [v (т)]>, (4.42)
описывающего статистические корреляции процесса z (t) с его
предысторией. Характеристический функционал Ф4 [v (т)] связан с
функционалом Wt [z, v (т)] формулой
оо
ф,[17(т)]= j dzx?t[z,v{т)]. (4-43)
-оо
Чтобы вывести уравнение для [z, v (т)], заметим, что имеет место
равенство
t
ф, [у(т)]= 1 + i\dnz(h)v(t 1)ф/Л1> (т)]. (4.44)
о
38
Подставляя (4.44) в (4.42), получаем
t
*Ft [z, v(x)] = Pt (z) + i^dtiviti) <6 (z(f) - z)z(*i)cp,,[i;(T)]>,
(4.45)
о
где Pt (z) = <6 (z (t) - z)> - одновременная плотность вероятностей
случайной величины z (t). Перепишем (4.45) в виде
t оо
'Ft [z, v (т)] = Pt (z) + i^dtiviti) ^ dz^ (b (z (t) - z) X
0 -"о
X 6(z(fi) -Zi)q>tl[y(T)]>.
(4.46)
В уравнении (4.46) можно выполнить усреднение, учитывая марковость
процесса z (t), и мы получаем замкнутое интегральное уравнение для
функционала [z, и (т)] [40]:
Yj [z, у(т)] =
( оо
= Pt (z) + i ^ dhv (fi) j dzxzxp(z, t\zu x) Ytl [zi, y(t)],
(4.47)
0 - so
где p (z, t | zx, tj) - плотность вероятностей перехода.
Отметим, что интегральное уравнение, аналогичное уравнению (4.47),
можно получить и для функционала
4Y,f [z, v (т)] = <6 (z (t') - z) ф, [v (т)]> (t' > t).
(4.42')
Оно имеет вид Ч'г, t [z, v (т)] =
t оо
= Pf (z) -f i 5 (*i) j dzip (г> t' IZ1. *i) [Zi- y (T)]'
(4.47')
0 -oo
Интегрируя (4.47) no z, получаем очевидную связь характеристического
функционала Фг[у(т)] с функционалом Ф(:
t с*.-:
<bl[v(x)\ = l + i<jjdt1v(t1) § dzi ziTtl[zi,y (т)],
(4.48)
О -ОО
которую можно записать в виде
1I dzlZl^t[zuv(r)].
(4.49)
-оо
Умножая (4.47) на z и интегрируя по z, получаем связь функционала
Т<[у(т)] = <г(г)ф,[у(т)]>= -^у-^- с функционалом
T, [z, v (т)1:
^ ^ (T)l = <z (*" +
i oo
+ ^ rfzi <z (i) | zb iOzi'Ff.fzj, у (t)].
(4.50)
0 -oc
В общем случае уравнение (4.47) представляет собой сложное интегральное
уравнение, конкретный вид которого определяется функциями Pt(z) и р (z, t
| z1; t]), т. e. характеристиками марковского процесса.
Отметим, что если функции Pt(z), р удовлетворяют линейным уравнениям
(4.40):
дР, (г) ~ др
-4-= LAW. 4 = Ьгр.
где Lz - некий интегро-дифференциальный оператор по z, то функционал
YJz, v (т)] будет удовлетворять уравнению d'V,
-^- = izv(t)xFt + LzxFt, Y0[z, 1;(т)] = Р0(2). (4.51)
В этом случае и функционал [z, v (т)] (4.42') будет удов-
летворять уравнению по t' с начальным условием при t' - t:
d~V., . [г, v (Т)]
-----= VtV,([^(T)l (t >t), (4 5Г)
}?t,t[z,v(x)] = '?t[z,v(x)].
Таким образом, уравнение (4.51) вместе с равенствами (4.49) и (4.50) и
является исходным уравнением для определения характеристического
