Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следствием уравнения (4.27) является аналогичное уравнение для
одноточечной плотности вероятностей:
P,(z)=<d(z(f)-z)>, (4.29)
сс
4-Pt (z) = ? t-f Jl [Вп (z, t) Pt (z)].
71=1
Частным важным случаем непрерывных процессов является случай, когда все
коэффициенты уравнения (4.27), начиная с третьего, равны нулю. Марковские
процессы, обладающие этим свойством, называются диффузионными процессами.
В этом случае уравнения (4.27), (4.29) упрощаются и принимают вид
4гр=- I- *>р- (4-3°)
Уравнение (4.30) называется уравнением Эйнштейна - Фоккера (или
уравнением Фоккера - Планка - Колмогорова), а само уравнение (4.27)
называется обобщенным уравнением Эйнштейна - Фоккера. Функции Вх (z, t),
В2 (z, t) называются коэффициентами сноса и диффузии.
В частном случае постоянства коэффициента В2 (z, t) и при Вг (z, t) =
-Bxz процесс z (t) является гауссовским марковским процессом с
корреляционной функцией
<z (t)z (t + т)> = о2 (t) exp {-Вх | т |}. (4.31)
Отметим, что можно доказать и обратное утверждение, а именно: гауссовский
процесс с экспоненциальной корреляционной функцией является марковским
процессом.
Рассмотрим теперь одномерный дискретно-непрерывный марковский
процесс. Здесь может быть два случая - чисто разрывного (скачкообразного)
процесса и процесса, имеющего помимо скачкообразного также непрерывное
изменение. В случае скачкообразных процессов случайный процесс z (t)
характеризуется двумя функциями q (z, t) и и (z, z', t) такими, что за
малый промежуток времени (t, t + At) процесс с вероятностью 1 - q (z,
t)At сохранит свое прежнее значение и с вероятностью и (z, z', t)At Az'
переходит из z в z", где z <L z" << z' -f- Az'. При этом, конечно, имеет
место условие нормировки
ос
j dz'u(z, z', t)=q(z, t). (4.32)
- йс
Для такого процесса следствием уравнения Смолуховского (4.9) является
интегро-дифференциальное уравнение, называемое уравнением Колмогорова -
Феллера:
Р (Z! ^ | Z0, к) =
СС
= - q (z, t) p (z, 11 z0, t0) -j- j dz'u (z, z, t) p (z', 11 z0, t0).
(4.33)
36
Аналогичный вид имеет и уравнение для одноточечной плотности
вероятностей. Если же помимо скачкообразного процесса имеется еще
непрерывное изменение, то к правой части (4.33) добавляется правая часть
(4.30). Отметим, что случайный процесс 2 (t) = n(0, t)
- число скачков на интервале времени (0, <),- рассмотренный как в
предыдущем параграфе, так и в настоящем (см. уравнения
(3.13) и (4.18)), является частным случаем скачкообразного процесса, и,
соответственно, дифференциально-разностные уравнения
(3.13), (4.18) являются частными случаями интегро-дифференци-ального
уравнения (4.33).
В качестве другого примера скачкообразного процесса рассмотрим
обобщенный телеграфный процесс, описанный в предыдущем параграфе. Этот
процесс определяется формулой (3.33). Вычислим плотность вероятностей
перехода:
p(Z,t | to) = <6 (z (t) - z) | z (t0) = Zq> =
= S(z ?")Рц(о, /)=0 -)¦- <6(z - а) У а {Рщо, o=i ^"(o, 0=2 b • • •}•
(4.34)
cc
Учитывая теперь условие нормировки ^ Рп(о, о=п= получаем
п=0
окончательное выражение:
р (z, t \ Z0, to) = б (z - Z0)P0(t, to) + pa (z) {1 - P0 (t, to)},
(4.35)
где P0 (t, t0) = exp {- v (t - ?o)} - вероятность отсутствия скачков на
интервале времени (t0, t), a pa(z) -вероятность принять случайной
величине а значение z.
Одноточечное распределение вероятностей процесса z (t) является,
очевидно, стационарным распределением:
Pt(z)=Pa(z). (4.36)
Величина (4.35), как функция переменной t, очевидно, удовлетворяет
дифференциальному уравнению
¦др{~= - V \р (z, 11 z0, to) - Ра (z)l, (4.37)
которое можно записать в операторном виде:
% = Lzp, (4.38)
где оператор Lz является в данном случае интегральным оператором:
LJ (z) = -V If (z) - ра (z) j dz'f (z1)]. (4.39)
Очевидно, что уравнение (4.38) является частным случаем уравнения
Колмогорова - Феллера (4.33) с параметрами q (z, t) = = V, и (z, z\ t) -
vpa(z).
Выше мы рассматривали одномерные случайные процессы, однако очевидно, что
все остается без изменения и в случае много-
37
мерных процессов, т. е. если z(t) является случайной векторной функцией.
В частности, плотность вероятностей перехода
р (*, t | "0, t0) = <б (ж (*) - z)\z (t0) = г0> будет
удовлетворять линейному операторному уравнению
= (4.40)
