Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 17

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 135 >> Следующая

функционала марковского процесса. Проиллюстрируем это па конкретных
примерах процессов, рассмотренных выше.
В случае телеграфного процесса из равенства (4.21) следуют равенства
<z (t) | Z1; = Zj exp {- 2v (t - ty)}, (4.52)
<z (t)} = a exp {- 2v^}.
Подставляя (4.52) в (4.50) и используя тождество (4.26') z2 (t) =
= а2, получаем уравнение, совпадающее с уравнением (3.30).
В общем случае марковского процесса с двумя состояниями zx и z2 и
соответствующими вероятностями перехода v и ^ уравнение (4.51) принимает
вид системы
= iv (t) ZiTj - vYj +
Л (4.53)
^± = iv(t) Z2T, + v'F1-^T2.
Учитывая теперь равенства (4.43) и (4.50), которые в терминах 40
функций 'Pj, Ф1, записываются в форме
Ф, = Ч^1+^2, - w (t) [zivFj -f z2T2], (4.54)
получаем дифференциальное уравнение для характеристического функционала:
Если теперь положить zx - - г2 = а и |i = v, то уравнение (4.55)
перейдет в уравнение (3.30), соответствующее телеграфному процессу. В
общем случае произвольной функции v (t) уравнение (4.55) решить не
удается. Можно найти решение этого уравнения лишь для v (t) = const, так
же как и в случае уравнения (3.30'). Функционал же (4.42') может быть
выражен через функционал В самом деле, функционал 4V ( удовлетворяет
уравнению (4.51'), которое для телеграфного процесса эквивалентно
дифференциальному уравнению
Первое слагаемое соответствует четному числу скачков на (?, ?'), а
второе - нечетному. Разумеется, формулу (4.58) можно было оы получить и
непосредственно, усредняя выражение (4.42') с помощью равенств (4.20'),
(4.21).
Рассмотрим теперь обобщенный телеграфный процесс. Для этого процесса, в
силу (4.39), уравнение для функционала
1ри выводе (4.59) использовалось равенство (4.43). Решая урав-гение
(4.59) относительно Уt[z, v (т)], получаем связь его с
+[|l + V - In !>(<)- +
['
- [iv (t) (vz2 + (izi) -f ZiZ2y2 (01 фt = 0-
(4.55)
с начальными условиями
Гг ,
(A.57)
(,=( = - v {lF, [z, v (t)] - Yt [- z, v (x)]}.
Решение последней задачи имеет вид
4V, t [z, v (т)] = ~ Yt [z, v (т)] [1 + exp {- 2v (t' - *)}] +
-I-'Ff [-- z, ^ (т)] [1 - exp {-¦ 2v - i)}] (?'>*)• (^-58)
?t[z, v (т)] принимает вид
T, [z, v (т)] == {izv (t) - v} T* [z, v (t)] +
+ vpa(z)(r)i[y(t)], T0[z, y(T)]=pa(z).
(4.59)
характеристическим функционалом;
t
Т, [z, v (т)] = ра (z) exp | - vt -b iz ^ dx v
^ О
t (
+ \'Pa(z) { йггфи [у (т)] exp |- v (t - ti) + iz dx v (x)|. (4.6U)
о *¦ fi
Интегрируя (4.60) по всем z, получаем замкнутое интегральное
уравнение для Ф( [у (т)], совпадающее с уравнением (3.35). Ум-
ножая (4.60) на F (2), где F (г) - произвольная функция, и интегрируя по
z, получаем равенство
г t
<(V (z (t)) exp |i ^ dx z (г) v ("Oj/* - <\/? (a) exP ^ dxv ('0jy> e~rt +
t f
+ v ^dt± exp {- v (t - ?x)} <^F (a) exp lia §dx v (t)|^> Ф(, [у (г)].
(4.61) о (1
В частности, при F (z(t)) = z (t) из (4.61) следует интегро-диффе-
ренциальное уравнение для Ф( [и (т)]:
-ww ^г=<а ехр {ia \d% v (T)}>e_v' +
О
t t
+ v
^ dt1e-v<-t~ti'> ^aexp |ia dx v (т)|^Ф(, [v (t)],
(4.62)
эквивалентное интегральному уравнению (3.35). Так же, как и в случае
телеграфного процесса, для обобщенного телеграфного процесса можно легко
найти связь функционала с функцио-
налом которая имеет вид
4V,f [z, у(т)] = ?( [z, v (т)] ехр {- v (t' - t)} +
+ pa(z) Ф([у (т)] {1 - ехр [-V (t' - ?)]} (t' > t). (4.63)
Остановимся теперь на одной важной предельной теореме, связанной с
телеграфными случайными процессами [22]. Рассмотрим случайный процесс
Hn(t) = z^t) + ... (4.64)
где все z-^t) - статистически независимые телеграфные процессы со средним
значением, равным нулю, и корреляционной функцией, равной (согласно
(3.27))
<z (t) z (t + т)> = exp {- a I T I}. (4.65)
В этом случае характеристический функционал процесса z^t)
42
будет удовлетворять уравнению (3.31):
t
= - -? у (f) jj dhv (h) exp {- a (t - ?i)} ФI [v (t)], (4.66)
О
откуда следует, что
ФГ [17 (x)l ->¦ 1 при N -у оо. (4.67)
Рассмотрим теперь характеристический функционал случайного процесса
?n(2):
t
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed