Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
считать вначале, что а - детерминированная величина.
Для телеграфного процесса z (t) невозможно в явном виде выписать
выражение для характеристического функционала, однако легко получить
интегро-дифферепциальное уравнение, которому он удовлетворяет.
Рассмотрим моментиые функции процесса z (t). Учитывая при этом
равенство (3.12), получаем
оо
(z(t)y = a 2 (- l)n(0>f)i\,(0, о =аехр{- 2п(0, *)} =
п(о, 0=о
= а ехр {- 2
<z (h) z (t2)) - я2 <(- l)n(°. "> = a2((- l)n<'*>*<) > ==
= a2 exp {- 2n (t2, tL)} = a2exp {- 2v (tx - г2)} (ix > ?2),
26
Рис. 3. Одна из возможных реализаций телеграфного
случайного процесса.
Mn (tu ¦ • • , tn) = <z (h). . . z (tn)y =
___fln ^_^"(o, <i)+n(o, b)+n(o, W+...+ti(o, /n) x __
__ a" ii) ) ((- 1),,(0' W+" +''(o. (n> v, =
= <z(t1)z(t2)'>Mn-2(t3, .. ., tn) (h > i2 > . . . > tn).
(3.27)
Отметим, что рекуррентное равенство (3.27) очень похоже на соот-
ношение (3.10) для гауссовского процесса с экспоненциальной
корреляционной функцией. Отличие состоит в том, что правая часть
(3.27) соответствует только одному из слагаемых в (3.10), отвечающему
определенному упорядочению по времени.
Рассмотрим теперь характеристический функционал для этого процесса
ф" [у СО] = ^ехр {i ^йтг(т)у(т)}^>,
(3.28)
о
где индексом а отмечен тот факт, что а - детерминированная величина.
Используя разложение характеристического функционала в функциональный ряд
Тейлора (3.4) и рекуррентное равенство
(3.27), получаем разложение
00 .п {
Ф"[У (Т)] = • • ^1. . . dtnMn(tu . . . , t^v{h). . .V(tn) =
n=s 0 О
t t ti
= 1 ia ^ dtxe~%xUv (?1) 1- a2 ^ dtx ^ X
0 0 0
oc t' *n-1
X у (*i) v (t2) 2 i" S dt3 • • ¦ j dtnMn-2 (*я, . . . , ii) у (i3) • • •
у (*")¦
71=2 0 0
(3.28')
Сумма, стоящая в правой части (3.28'), выражается через сам
характеристический функционал Ф'1, в результате чего получаем
интегральное уравнение
t
Ф? [у (т)] = 1 -f ia^dtie~2Y,'v (tx) -
о
! h
- a2 dtx § dt2e~2x<-tl^t-'>v (tx) v (?2)Ф?, [у
(t)]. (3.29)
о 0
Дифференцируя (3.29) no t, получаем интегро-дифференциальное уравнение
= iae~2vtv (t) - a2v (t) \ d?ie-av(,-''>y (^) Ф?,.
(3.30)
о
27
Уравнение (3.30) в общем случае решить не удается, и оно эквивалентно
дифференциальному уравнению второго порядка
d 2Ф" <#*
2v - _im,(()J __ 4- ftV (t)Ф, - 0, (3.30')
фа*=1'
Пусть теперь величина а будет случайной величиной с плотностью
вероятностей р (а). Для получения характеристического функционала
процесса z (t) в этом случае требуется усреднить уравнение (3.30) по
случайной величине а. Это в общем случае также не удается осуществить. И
только для случайной величины а с распределением
Р (а) = 4- Is (я - я") -г 6 (а + а0)],
для которой <а> = 0, а2 = (собственно, именно этот случай и называется
обычно телеграфным процессом), можно усреднить уравнение (3.30). В
результате получаем уравнение
<М>, [v (т)1 , (*
_i_------= -flSw(f) (3.31)
о
или уравнение второго порядка
й2Ф t ро d /-ч1
[2v - ± lny(0] + (t) Ф, = 0, (3.31')
= 0.
dt2 d<b
ф-=4' -Я
i=0
Отметим, что в частном случае v (t) = v уравнение (3.31') решается, и
его решение имеет вид
t
ф( [у] = <^ехр jiy ^ d% z (^)|/> = о
= e~v( (ch Vv2 - a\v2t -i--- - v - - sh V v2 - a*v2t ] . (3.32)
{ Yv*~ay j
Таким образом, выражение (3.32) является одноточечной характе-
t
ристической функцией случайного процесса | (t) = j dx z(t).
о
Рассмотрим теперь обобщенный телеграфный процесс, описываемый
формулой
z(t) = an0> t). (3.33)
28
Здесь п (0, t) - случайная последовательность целых чисел, описанная
