Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
о2а
= < А2} - (А>2 = §§ dX! dx2v (tl) V (т2) В (tb t2),
где В (tlt t2) = <z (tx) z (t2)> - корреляционная функция процесса z(t).
Среднее значение величины <ехр (L4}>, согласно (1.20), равно
<ехр {iA}>A = exp {---^-oa} ,
2
и, следовательно, для характеристического функционала гауссовского
случайного процесса получаем выражение
Ф [y(t)] = exp I---i- dx1dx3B{x1, t?) v (tx) v (t2) j . (3.8)
21
Для этого процесса единственной отличной от пуля кумулянтной функцией
является функция
^2 (^1) ^2) == В (tlt t2)
и
0 [V (т)] =----- ^ ^ dti dx2B (tj, т2) v (tj) V (т2). (3.9)
Рассмотрим п-ю вариационную производную от Ф [у (т)]. Для нее
получаем цепочку равенств
______?_______ФИт)1-___________~_______-а^р (т)] Ф \у(%)\ -
бг; (У . . . bv (tn) - (U). . . 6" (tn) bv (h) y [V ^1 ~
= 620 ф г., /тч, ,
bv {tj) 6v {t2) bv (ta). . . bv (tj
, 6n~3 66 [у (т)] 6Ф [г> (t)J
^ bv (i3). ..bv (tn) bv (tx) bv (i2) •
Полагая теперь v = 0, получаем для моментных функций гауссовского
процесса z{t) рекуррентное равенство, обобщающее формулу (1.17):
П
мп (h,..., tn)= 2 в (h, t}i) мп_2 {и,...... tn). (З.10)
?i-=2
Отсюда следует, что для гауссовского процесса z (t) со средним значением,
равным нулю, все моменты нечетного порядка равны нулю, а моменты четного
порядка определяются суммой, в которой процессы z (tj) z (tk) усредняются
попарно всевозможными способами.
Отметим, что если в формуле (3.9) функция v (т) отлична от нуля
только в интервале времени (0, t), то
<
Ф( Ит)] = <(ехр ji j dx z (т) v (t)}/> =
0
t Tl
= exp {- ^ dt! ^ dx2B (хъ t2) v (та) v (t3)} , (3.9')
0 0
и в этом случае функционал Ф( [v (т)], как функция параметра t,
удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
<9Ф, . г
-gf- = - v (t) \^dxB(t, х)а(х)Ф1, Ф0=1. (3.11)
о
Перейдем теперь к примерам разрывных процессов. Разрывные процессы
это такие случайные функции, у которых изменение поведения происходит в
дискретные моменты времени in, t2,. . ., заданные статистическим образом.
Прежде всего для
22
описания разрывных процессов требуется знание статистики этих моментов
времени или_знание статистики числа п (0, t) попадания точек tt на
интервал времени (О, t). При этом имеет место равенство
п (0, t) = п (0, ?) + •
+ n{f, t) (0<f' <*). (3.12)
Сама величина п (0, t) является случайным процессом, возможная реализация
которого изображена па рис. 2. Совокупность точек разрыва tlt t2,. .
.процесса z (t) называется потоком точек. Ниже мы будем рассматривать
пуассоновский стационарный поток точек (см., например выпадания п точек
на интервале (?х, t2) определяется формулой Пуассона
/>" ^ (^/2>1 ехр {- п (tlt h)} (3.13)
со средним значением числа точек на (tlt i2): n(f1, t2) = v |'^ - t2 I,
где v - среднее число точек, приходящихся на единицу времени. При этом
количества точек, выпадающих на неперекрываю-щихся интервалах,
статистически независимы, а моменты времени выпадания точек на интервале
(i1; t2) при условии, что их выпало п штук, также статистически
независимы и равномерно распределены на (tlt t2). Длина интервала между
соседними скачками имеет экспоненциальное распределение. Пуассоновский
поток точек - марковский процесс (см. следующий параграф).
Отметим, что величина (3.13) Pt{n) = <б(и(0, t) - п)У, плотность
вероятностей выпадания п точек на интервале времени (0, t), как функция
параметра t, удовлетворяет рекуррентному уравнению
i^U-vPt(0), Л.(0)=1; (3.13')
-iP- = v[Pt{n-\)-Pt(n)], Ро(п) = о (га =1,2, ...).
Уравнение (3.13') является частным случаем уравнений для дискретных
марковских процессов и частным случаем уравнений типа Колмогорова -
Феллера (см. § 4 данной главы).
Рассмотрим теперь случайные процессы, точки разрыва которых являются
пуассоновскими потоками точек. В физических модельных задачах в настоящее
время в основном используются процессы трех типов: пуассоновский
случайный процесс, телеграф-
Рис. 2. Одна из возможных реализаций процесса п (0,
t).
, [35]), у которого вероятность
23
ный процесс п обобщенный телеграфный процесс. Этим процессам мы и уделим
основное внимание.
Пуассоновским (импульсным) случайным процессом z (t) называется
процесс, описываемый формулой
*(*) = Slig(t-ti). (3.14)
i=l
где случайные величины ?г статистически независимые плотностью
