Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
выше, а величины аг считаются статистически независимыми с распределением
р (а). На рис. 4 представлена одна из возможных реализаций этого
процесса. Для процесса z (t) имеем
оо
<(2 (t)y ?г(о, t
A'=0
оо
<z (tl) Z (ti)y = n(0, "(0,
k, 1= о
CC
= (я2) И(э, /i)) <6o
к=о
oc
4" (,a)2 (l -- n(0, y) ;
1 A-=o
= (a2) -f <a
И Т. д. При ЭТОМ функция <ddj n/f,t /,)> =
= -P"((2, i,)=o = exp {- V I"! - ?o1} - вероятность отсутствия скачков
на интервале (^1т ^2)*
Для такого процесса не удается получить соотношение, аналогичное
формуле (3.27). При выводе уравнения для характеристического функционала
существенно, что этот процесс - марковский (см. следующий параграф). Это
уравнение было получено в работе[37] ж имеет вид
I
Ф, [у (т)] = <(^ехр {г ^ dx z (t) i;(t)}^> = <(^exp jta j ax и (X)jye~"
-j-0 0
t t
+ v ^ dtx exp {- v (i - )} <(^exp |ia § dx v (т)}^> Ф/,[у Mb
(3.35)
0 (i
Первое слагаемое в правой части (3.35) соответствует отсутствию скачков
на интервале (0, t), а второе - количеству скачков на (О, t) от одного до
бесконечности. Здесь момент времени ^ является моментом появления
последнего скачка.
Отметим, что при р (а) =у[б (а - а0) + б (а + а0)] уравнение (3.35)
совпадает с уравнением, соответствующим телеграфному процессу, с заменой
v на v/2. Это естественно, так как для этого процесса, в отличие от
телеграфного, в момент времени наступления скачка величина z (it) с
вероятностью 1/2 может изменить знак, что приводит к удвоению среднего
времени между скачками. Если v (t) = v, то уравнение (3.35) легко
решается с помощью преобра-
!)> -- \a)t
/2)) -
I, n(t.., (,)) +
(3.34)
А, n(f2, г,))} -
>2 (1 _ e-v(fr-f.>) (tx > u)
Рис. 4. Одна из возможных реализаций
обобщенного телеграфного процесса.
29
зования Лапласа, т. е. можно- определить характеристическую
t
функцию процесса \ (t) = ) dx z (т), как и в случае телеграфно-
о
го процесса.
Отметим также, что процесс телеграфного типа
я(о, О
z{t)= а аъ (3.36)
который может иметь, вообще говоря, реализации, совпадающие с
реализациями обобщенного телеграфного процесса (рис. 5), тождествен с
пуассоновским процессом (формула (3.20)).
0O + aJ+al*aZ
Рис. 5. Одна из возможных реализаций пуассоновского процесса z (t) =
n(o,()
= ^ ajt, где п (0, t) - пуассоновский поток точек. fc=o
Выше мы отмечали, что пуассоновский поток точек и процессы,
построенные на таких точках,- марковские процессы. Остановимся теперь на
этом важном классе случайных процессов более подробно.
§ 4. Марковские процессы
В предыдущем параграфе мы рассматривали характеристический функционал
процесса z (t), который описывает все статистические характеристики z
(if). Если теперь в формуле (3.1) поло-
П
жить v (t) = vk& (t - tk), то (3.1) переходит в совместную xa-
i=i
рактеристическую функцию случайных величин zk = z (t^):
<П
ехр li '2ivkz(tk)\;,
' !.'=1
преобразование Фурье которой определяет совместную плотность
вероятностей для значений процесса z (it) в дискретные моменты
30
а'о
времени:
9^п (%j i?2> • • •> Zn, itn) = <(6 (z (itj) Zj) ... 6 (z (tn)
%п)У-
(4.1)
Пусть выбранные моменты времени упорядочены следующим образом:
По определению условной вероятности (см., например, [35])
^n(Zi> ^1) • • *j 2n, ?n) =
" ^П- 1 (^2' ^2' * * *' in) Pn (^li ^1 I ^2> ^2" ' * *> ^n)?
(^'^)
где pn - условная плотность вероятностей для значения процесса z (t) в
момент времени t1 при условии, что в моменты времени tic (к = 2, . . .,
п) функция z (t) принимала значения, равные z (h) = z,v. Если процесс z
(t) таков, что для всех ty условная плотность вероятностей однозначно
определяется значением z2, принятым в момент времени t2, и совсем не
зависит от предшествующей истории, т. е.
Рп (^1> ^1 I • • • t Zn, tn) = p (z^, ti J Z*2, ^2)"
(^*^)
то этот процесс называется марковским процессом или процессом без
последействия. Функция
р (z, t I z0, ?0) = <6 (z (г) - z) I z (t0) = z0> (t > t0) (4.4)
при этом называется плотностью вероятностей перехода. Полагая в (4.4) t
= t0, получаем равенство
р (z, t0 I z0, t0) = 6 (z - z0).
