Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся теперь на одной предельной теореме, связанной с
гауссовской случайной величиной. Пусть случайная величина ? принимает два
значения ±а0 с вероятностями 1/2, т. е. ее плот-
¦1
ность распределения вероятностей имеет вид р (?) = у [б (? - а0) ~
+ б (? + а0)]. Характеристическая функция этой величины, очевидно, равна
Ф (Я) = <ехр = cos Ха0. (1-26)
Пусть теперь zn = ?i + ... + \n, где -статистически неза-
висимые величины, определенные выше. Тогда характеристическая функция
величины zn
Фту (^) = [cosXa,)]^. (1.26')
Положим а0 = a/|/7V и перейдем к пределу при TV -v оо. В результате
получаем характеристическую функцию
Фсо (Я) = ехр {- Я2а2/2}, (1.26")
соответствующую гауссовской случайной величине z с нулевым
средним значением и дисперсией, равной а2. Таким образом, случайная
величина zn при N ->- оо распределена по гауссовскому закону.
2) Величина z = п - целочисленная случайная величина,
Для такой случайной величины рекуррентное равенство (1.8) принимает вид
Рассмотрим теперь среднее значение (nf (п)У, где / (х) - произвольная
функция, определенная в целочисленных точках. Для нее получаем
Полагая в (1.29) / (и) = /г!_1, мы приходим к формуле (1.28).
В общем случае произвольного распределения вероятностей величины z
для вычисления среднего значения <z/ (z)X где / (а;) - произвольная
детерминированная функция, воспользуемся приемом, который будет широко
использоваться в дальнейшем. Вместо функции / (z) введем функцию / (z +
г|), где г| - произвольная детерминированная величина. Разложим / (z +
г|) в ряд Тейлора по z, т. е. представим ее в виде
где введен оператор сдвига по т]. Далее можно написать цепочку равенств
распределенная по закону Пуассона рп= "j ехР п}' где п~ сРеД~ нее
значение величины п. Для нее имеем
Ф (у) = exp {п (elv - 1)}, В (г;) = п (eiv - 1),
Кп = п. (1.27)
(1.27)
м1 = пу?л
(I -1)!
Л/* = й<(п + 1 )'-i>. (1.28)
fc! (Л-1 -ft)!
ОО
оо
(1.29)
Оо
<z/ (z + r])> = <^z exp {z ^-})>/ (Л)
14
где'функция
а Ф (v) - характеристическая функция случайной величины z. Используя
теперь для функции 0 (у) разложение в ряд Тейлора (1.6), для функции (v)
получаем разложение в виде ряда
Учитывая, что переменная т] в правой части (1.30) входит только в
комбинации z-j- r|, можно дифференцирование по г] заменить па
занести под знак усреднения) и положить т) = 0. В результате получаем
равенство
которое, используя для ?2 (v) разложение (1.32), можно переписать в виде
ряда по кумулянтам Кп:
Формула (1.34) является обобщением выражений (1.18), (1.29) на случай
произвольного распределения вероятностей случайной величины z. Полагая в
(1.34) / (z) = zh'~1, мы, естественно, приходим к равенству (1.8).
Для многомерной случайной величины z вместо формулы (1.34) имеет
место ее очевидное обобщение
Как мы увидим в следующей главе, все полученные выше формулы легко
обобщаются на случайные процессы z (t) и поля z (х, t). Однако прежде чем
мы перейдем к случайным процессам, заметим, что для них, в отличие от
случайных величин, переменными являются функции. Поэтому, естественно,
вместо операций дифференцирования, которые возникали выше, у нас
возникнут операции функционального дифференцирования (варьирования), на
понятии которого следует подробнее остановиться.
оо
(1.32)
дифференцирование по z (при этом оператор
следует
<z/(z)>=<(0(7|r)/(z)>,
(1.33)
(1.34)
71=0
ОО
/(*)>• (1-35)
15
§ 2. Вариационные (функциональные) производные
Прежде всего наполним общее определение функционала. Мы говорим, что
задан некоторый функционал, если установлено правило, по которому каждой
функции из некоторой совокупности сопоставлено число. Примеры
функционалов:
а)
где а (t) - заданная (фиксированная) функция, а пределы tx, t2 могут
быть как конечными, так и бесконечными. Это линейный функционал.
tz is
б) F [ф (t)\ = j j dXx d,x2B (тх, т2) ф (tx) ф (т2),
<1
где В (тц т2) - фиксированная заданная функция. Это квадратичный
функционал.
в) F [ф (t)] = / (Ф [Ф (?)]),
где / (х) - заданная функция, а величина Ф [ф(?)1 сама является
функционалом.
Оценим разность одного и того же функционала, взятого
для двух функций ф(т) и ф (т)+бф (т), где
бф (т)=т^0 при г - у Дг <т <г +
+ у At (рис. 1). Вариацией функционала
