Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
(4.5)
Подставим выражение (4.3) в формулу (4.2). Получается рекуррентное
равенство для ге-точечпой по времени плотности вероятностей процесса z
(t). Итерируя это равенство, находим связь SPn с одноточечным
распределением вероятностей:
^п (^1? iii • • •) 1 ^n) ==
= Р (%. ii I z2, Ц) ... р (гп_ь ^ | zn, tn)Ptn (zn) (4.6)
(fj > ta > . . . > У.
Таким образом, все статистические характеристики марковского
процесса z (t) описываются всего двумя функциями - плотностью
вероятностей перехода р (z, t | z0, <0) и одноточечной плотностью
вероятностей Pt (z). При этом величина р (z, t | z0, i0), как функция
своих аргументов, удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению,
называемому уравнением Смолуховского (или уравнением Колмогорова -
Чепмена). Для его вывода заметим, что если процесс z (t) принимает
значение в фиксированные моменты времени ?0 < ii < i соответственно z
(t0) = z0, z (t^ = = zu z (t) = z, то имеет место условие согласованности
j dzx&>z (z, i; zb z0, ?0) = ^2 (z, i; z0, t0). (4.7)
31
Подставляя теперь в (4.7) выражения для ?Р3 и 5s3 из (4.6), получаем
равенство
р (z, 11 z", t0) Pu (zo) = j dzip (z, 11 Zi, <i) p (Zi, <11 z0, f")
(z0). (4.8)
Сокращая правую и левую части (4.8) на Ри (z0), находим искомое
уравнение:
р (z, * | z0, /0) = j dzxp (z, 11 zj, *i) p (zl5 | z", ?0)-
(4.9)
Если же проинтегрировать равенство (4.8) по z0, то получается линейное
интегральное уравнение для одноточечной плотности вероятностей:
Pt{z) = \dz1p(z, t\zu h)Ptl{Zl).
(4.10)
Интегральные уравнения (4.9) и (4.10) позволяют получать
дифференциальные (или интегро-дифференциальные) уравнения для простейших
марковских процессов. Мы не будем заниматься их выводом (вывод их
содержится в многочисленной учебной литературе по теории случайных
процессов и ее применениям к различным физическим задачам - см.,
например, [35, 38, 39]), а приведем лишь классификацию простейших
марковских процессов и основные уравнения, следуя книге [39]. Учитывая,
что переменная z может меняться дискретным или непрерывным образом, а
также что и сама случайная функция может меняться как непрерывным, так и
дискретным образом, получаем четыре возможных случая: 1) дискретные
процессы с дискретным временем, 2) непрерывные процессы с дискретным
временем, 3) дискретные процессы с непрерывным временем, 4) непрерывные
процессы с непрерывным временем. Кроме того, выделяется еще один тип
случайных марковских процессов, так называемых 5) дискретно^не-прерывных
процессов, у которых при непрерывном изменении t в некоторые моменты
времени имеются скачки (дискретные или непрерывные), а в промежутке между
скачками процесс ведет себя как непрерывный случайный процесс.
Кроме этих пяти видов процессов имеются еще более сложные - смешанные
виды случайных процессов.
Учитывая, что в дальнейшем нас будут интересовать только
стохастические уравнения, т. е. дифференциальные или интегро-
дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными
функциями времени, остановимся на марковских процессах с непрерывным
временем более подробно.
Рассмотрим дискретный марковский процесс z (t), который может
принимать только дискретные значения zlt . . ., zn, причем переход с
одного значения на другое происходит в случайные моменты времени. Введем
плотность вероятностей перехода
t0) = (b(z(t) - z^ | z (t0) =z}y (t0<t),
(4.11)
SPlj (^7 Id) =
32
которая есть условная вероятность принять процессу z (t) в момент времени
t значение z;, если в момент времени t0 он имел значение Zj. При этом
очевидно, что
Рц (to, h) = б,/- (4-12)
Для малых временных интервалов At -> О
Рц (t + At, t) = 6ij + dij (t)At -f- о (At), (4.13)
где а.ц (t)At - вероятность перехода из состояния Zj в момент
времени t в состояние гг за время At. При этом
aij(t)^>(r) (i^j)i a"(t)- aii(t)i (4.14)
i(irj)
так как должно сохраняться условие нормировки (4.11).
Исходя из уравнения Смолуховского (4.9), легко показать, используя
(4.13), что вероятность Pi)(t, t0) удовлетворяет системе линейных
дифференциальных уравнений
П
-^рг;(Мо)= ^"'11-(Ор>о(Мо) (i,/= 1, . . . , ")¦ (4-15)
к=1
Уравнениям (4.15) удовлетворяют не только вероятности перехода, но и
одноточечные вероятности Рt (t), так как
(г) = 2iPii (t, fo)Ph (4.16)
д
где рj - начальные вероятности состояний (р° - Р; (^о))- Следовательно,
имеют место уравнения
Pi (to) = pl О4-17)
к
В качестве иллюстрации приведенной выше теории рассмотрим два
