Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
вероятностей р (?), а случайные точки равномерно распределены на
интервале (О, Т), так что число их п распределено по закону Пуассона с
параметром п~\Т. Функция g(x), описывающая форму импульса,-
детерминированная функция (g (х) = 0 при х < 0).
Вычислим характеристический функционал этого процесса
(
ф<[у(х)]= <^ехр {г <\)dxz{x)v (т)?>2- (3.15)
о
Усреднение в формуле (3.15) будем проводить в два этапа. Сначала
усредним по случайной величине | и по положениям случайных точек t\;:
t
Ф, [v (т)] = <^ехр |г J dx v (т) (т - М}Х tfcX =
О fr=l
т t
dtw ^dxv(x)g(x - f))]"X . (3.16)
где W (v) - j d? p (l)exp {i?v) - характеристическая функция
ос
случайной величины Пусть t < Т. Тогда формулу (3.16) можно переписать б
виде
! t
фг [у(х)]= .-!• jjdf dxv(x)g (X -
t)J + (3Л^
о t
Усредним теперь выражение'(3.17) по пуассоновскому распределе-
тх^
нию Рп = - е~п случайной величины п:
t t
[у Ml = ехр {v § dt |V dx у (т) g (т - f)) - l]} ,
о ' Т
t ос t
(r)t [у (т)1 = v J dt j dip (I) {exp j dx t; (x.) g (x - ?)] - l}. (3.18)
24
Кумулянтные функции при этом имеют вид
minUi, ... , fn>
Kn(h, ¦ ¦ • , tn) = V <?"> § dTg(h - t). .. g{tn - t).
(3.19)
о
Рассмотрим частные случаи пуассоновского процесса.
1) Пусть
, 1, *>0, g(t) = Q(t)=' ^
0,
*<0, т. е.
п п(0, t)
г (*) = (* - *0 = 2 li-
i=l i-l
В этом случае Kn (*ь . . tn) = v <|n> min {^, . . ""}.
Если при этом | = 1, то процесс z (t) = п (0, t) и для него
Кп (t\i • • • 7 tп) - v min (?j, • • • ? tn)' ^
2Q)
0( \v (t)] = v ^ dt jexp ^ dx v (t)J - l|. о
7
2) Пусть g (t) = 0 (t) - 0 (t - 6), т. e. мы имеем прямоугольный
импульс длительностью б. Этот процесс стационарен, и
Кх (t) = v <?> б,
K*(tu ^в) = v <?"> 6(l------LJL) 0 (l _ ill) (т =*!-**)•
(3'21)
3) Пусть g (t) = e~at 0 (t) (a^>0). Для такой формы импульсов
.п п-1 п
Kn (t 1, ...,"")= [ехр |- а ^ (h - ?")} - exp j - а ^ Ц
fr=i "=i (*1 > "2 > . . . >?n).
Если а^- 1, то процесс z (t) стационарен и
"п 11-1
(#!, ...,*") = ехр {- a Vj (h - U} • (3-
22)
Ь=1
В частности,
V <^>
^1 (^l) =
а
Къ {tu и) = ехр {- a I *1 - "21}.
(3.22')
4) Пусть теперь g (t) = б (i). В этом случае процесс 2 (t) =
со
= 2j ?кб (it - tk) называется обычно процессом дробового шума.
А-=1
25
Этот процесс является частным случаем дельта-коррелированных процессов
(см. об этом следующую главу). Для такого процесса
t ос '
Q,[v(x)] = v ^dx § dip (I) {exp О'^(т)} - 1} (3.23)
О --оо
и кумулянтные функции Кп {tu . . ., tn) = v <|">6 (tx - t2)6 (t2 - t3)
... b (tn_ j - ?").
(3.24)
Отметим, что пуассоновский процесс с произвольной импульсной функцией
g (t) связан с процессом г (t) формулой
(
z (t) = j" dx g (t - т) z (t). (3.25)
0
Рассмотрим теперь статистические характеристики телеграфного
случайного процесса, следуя работе [20]. Телеграфный процесс z (t)
определяется формулой
z (*) = "(- 1Г(°'') (2(0)= a, (3.26)
где п (tt, t2) - случайная последовательность целых чисел, описывающая
количество скачков на интервале (tu tn). При этом, как
и для пуассоновского процесса, рассмотренного выше, будем считать, что
поток точек является пуассонов-ским стационарным потоком. Запись
телеграфного процесса в виде (3.26) использовалась в книге Каца [36]. На
рис. 3 представлена одна из возможных реализаций процесса z (t). Будем
