Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
функционал F [<р (т) + (т)] можно разложить в функцио-
18
нальный ряд Тейлора *) по функции т) (т) в окрестности т] ~ 0;
Вывод этой формулы см., например, в [30, приложение 1]. Отметим, что
операторное выражение типа
действие которого надо понимать именно в смысле разложения
(2.9). G помощью этого оператора формулу (2.8) можно переписать в виде
как оператор функционального сдвига.
Рассмотрим теперь функционал F [<; <р (т)], зависящий от параметра t.
Этот функционал можно дифференцировать по t, а также найти его
вариационную производную по <р (<'). Легко видеть, что эти операции
перестановочны, т. е. имеет место равенство
Если область изменения т не зависит от t, то равенство (2.11)
очевидно. Далее в книге мы будем иметь дело с такими функционалами F, у
которых 0 ^ т В этом случае равенство (2.11) проверяется путем разложения
F [t\ <р (т)] в функциональный ряд Тейлора.
§ 3. Случайные процессы, поля и их характеристики
Если мы имеем случайную функцию z (t) (случайный процесс), то для ее
полного статистического описания достаточно знать характеристический
функционал
*) Здесь и далее, когда у интеграла не указаны пределы,
предполагается, что они бесконечны.
F [ф (т) + г] (т)] = F [ф (т)] + ^ d,
+ тр U ^ dt1 dt2
1 + J df т| (f) +
бф ("j бф (h)
можно сокращенно записать в виде оператора
/ [ф (т) + Г] (т)] = ехр {J Лг](0д^-}/'[ф(т)]1 (2.10)
что позволяет нам интерпретировать оператор
(2.11)
Ф [у (т)] = <ехр {г f dx v (т) z (г)}>,
(3.1)
19
где функция v (х) - произвольная (достаточно "хорошая") функция,
заменяющая совокупность чисел vY,. . ., vn в (1.11).
Зная функционал Ф [у (т)], можно найти такие характеристики случайной
функции, как <z (?)>, <z (^). . . z (?")> и т. д.
Подействуем на (3.1) оператором 5/6v(t) и внесем его под знак среднего
(эти операции можно переставлять), тогда получаем равенство
=^wехр SdT v (т) 2 (т)1^=
= i <^z (t) ехр |i J dx v (x) z (т)}/* •
Аналогичным образом получаем формулу
(¦гт4г)-(т-Ц5-)Ф|"М1-
= <^z (tj) . . . z (tn) exp [i J dx v (x) z (x)}^> .
(3.2)
Если в формуле (3.2) положить v (t) - 0, то получим равенство
4г . f .'бг~\Г )" Ф ^ ^ 1"°° = <Z ^ = 1. ¦ • м tn),
(3.3)
т. е. по характеристическому функционалу можно найти re-точечные моменты
случайной функции.
Раскладывая Ф Ы в функциональный ряд Тейлора, получаем, согласно (2.8)
и (3.3), выражение для характеристического функционала через моментные
функции процесса z (t):
J2. -п ,,
Ф[У(T)l=2_|'iri • • • )dtl' - -dtn^n(h, • ¦ •, tn)v(ti). . .v(tn).
(3.4)
n=0
Представим теперь Ф [у (х)] в виде
Ф [у (х)] = ехр {0 [v (х)]}. (3.5)
Тогда функционал 0 [v (т)] также можно разложить в функциональный ряд
Тейлора:
СО
0 [V (т)] =У) ^ • • • ^dtt. . . dtnKn {tl,...,tn)v(tx)...v{tn), (3.6)
П=1
гДе функция
i An
кп (itu . . ., tn) = - --_ 0 [v (T)] [v=0
называется кумулянтной функцией процесса z (?) гг-го порядка,
Аналогичным образом определяется и характеристический функционал
случайного скалярного поля f(x, t), где для определенности через х, t
обозначены пространственные и временная координаты, хотя роль временной
координаты в ряде случаев может играть и одна выделенная пространственная
координата:
Ф [v (ас, ?)] = <^ехр {( J dx ^ dt v (ас, t) f (x, i)]^> =
= exp {в [у (ас, t)]}, (3.7)
a также моментные и кумулянтные функции п-го порядка:
1 бП
Мп(хъ 11; . . хп, tn) = - bv ^ _ 6v Ф [v(x, *)] |"=0.
1 6^
Kn(xi, 11; . . xn, tn) ==jb & (?Cii tl). . . & (xrC tn) (r) ^
(3.7
)
Если / (x, t) - векторное поле, то в формуле (3.7) следует считать v
векторной функцией.
Перейдем теперь к конкретным примерам случайных процессов. Рассмотрим
прежде всего случай непрерывного процесса - гауссовского случайного
процесса z (t) со средним значением, равным дулю (<z (t)y = 0). В этом
случае функция z (t) для любых фиксированных значений tt, . . ., tn имеет
совместное гауссовское распределение. Рассмотрим случайную величину А =
ос
= j dx v (т) z (т) (v (± оо) =0). Она имеет гауссовское распре-
- со
деление
п/., 1 Г (Л-</1"2
Р (Л) = ---------exp 1
у г пзА | 23^
с параметрами
<Л>= ^ dtz;(t)<z(t)> = 0,
