Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнениями в частных производных, этот метод приводит к обобщенному
уравнению типа Эйнштейна - Фоккера в вариационных производных для
характеристического функционала решения задачи, в связи с чем оп может
быть назван приближением диффузионного случайного процесса. Для
динамических систем с не-гаусровскими флуктуациями параметров
предлагаемый метод также приводит к приближению марковского процесса.
Плотность вероятностей решения соответствующих динамических
стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному
уравнению. Так, для случая систем с флуктуациями параметров, имеющими
пуассоновский характер, получаются иптегро-диффе-ренциальные уравнения
типа уравнения Колмогорова - Феллера.
В последнее время во многих работах, в которых используется уравнение
Эйнштейна - Фоккера (в дальнейшем мы будем использовать сокращение УЭФ),
оно выписывается на основе интуитивных соображений, а динамические
уравнения привлекаются лишь для подсчета коэффициентов, входящих в УЭФ.
Такой подход, вообще говоря, непоследователен. Действительно,
статистическая задача полностью определена динамическими уравнениями и
предположениями о статистике случайных воздействий. При этом УЭФ должно
являться логическим следствием динамических уравнений и тех или иных
предположений о характере случайных воздействий. Ясно, что далеко не во
всех случаях решение задачи будет сводиться к УЭФ.
6
Ниже мы будем использовать функциональный метод получения УЭФ,
предложенный Новиковым [14] в теории турбулентности и развитый в работах
автора и Татарского [15] для общего случая динамических систем. Этот
метод позволяет получить УЭФ, исходя непосредственно из динамического
уравнения задачи, а также исследовать поправки, связанные с конечностью
времени корреляций случайных воздействий. При этом могут быть выяснены те
ограничения, при которых справедливо УЭФ. Для негауссовских флуктуаций
параметров метод получения соответствующих уравнений для статистических
характеристик динамических систем предложен в работах автора и Татарского
[16, 17].
Развитый метод позволяет также (для определенного класса задач и
случайных процессов) получить замкнутые уравнения для плотности
вероятностей решения задач с учетом конечности времени корреляции
случайных воздействий [18-23]. Это прежде всего системы с флуктуациями
параметров в виде процессов телеграфного типа и гауссовских марковских
процессов. С помощью теории инвариантного погружения удается также
исследовать и стохастические краевые задачи [24]. Другие методы и подходы
к решению стохастических уравнений описаны в ряде обзорных работ,
появившихся за последнее время (см., например, [25-27]).
Настоящую книгу можно рассматривать как расширенное и переработанное
переиздание книги автора [28], где круг вопросов ограничивался только б-
коррелированными процессами и полями. В настоящее издание добавлены как
вопросы общетеоретического характера (системы с марковскими флуктуациями
параметров, интегральные уравнения, краевые задачи и т. п.), так и новые
существенные результаты, полученные за последнее время, для конкретных
физических задач, связанных с теорией волн в случайно-неоднородных
средах. Наряду с этим в книге опущены разделы из [28], связанные с
задачами статистической гидродинамики, так как такого существенного
продвижения, как в теории волн, в этой области пе произошло. Это
позволяет рассматривать настоящую книгу как новую, не связанную с
монографией [28].
Несколько "слов о структуре книги.' По своему содержанию книгу
можно'разбить па три части. г
В первой части (гл. 1, 2), следуя^монографиям 129-31] и работе [32],
мы даем определения и некоторые правилавычислений с вариационными
производными и характеристическим функционалом. В этой части книги также
кратко рассматриваются некоторые вопросы, связанные с нахождением
статистических характеристик случайных величин и процессов, мало
освещенные или совсем не освещенные в учебной литературе.
Вторая часть (гл. 3-5) посвящена общей теории статистического описания
динамических систем (теория стохастических уравнений), а третья часть
(гл. 6-10) посвящена приложениям общей теории к вопросу о нахождении и
анализе статистических характеристик волн, распространяющихся в случайно-
неоднород-
7
пых средах. При этом мы ограничиваемся кругом задач, которые в настоящее
время в принципе можно считать полностью решенными. Это задача о
стохастическом параметрическом резонансе для различных моделей флуктуаций
параметров, допускающая точное решение, которую можно рассматривать как
вводную задачу к статистической теории волн в случайно-неоднородных
средах. Это задача о распространении волн в одномерной среде, для которой
получена картина поведения статистических характеристик интенсивности
волны как внутри слоя флуктуирующей среды, так и вне его, и
пространственная задача о распространении волн в случайно-неоднородных
