Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
средах, рассмотренная в малоугловом приближении (приближение
параболического уравнения).
Нумерация формул своя в каждом параграфе. При этом в ссылках
используется двойная или тройная нумерация. Двойная нумерация
используется для ссылок на формулы данной главы, а тройная - па формулы
из других глав.
Необходимо отметить, что количество как чисто математических, так и
физических работ, посвященных излагаемому материалу, исчисляется
тысячами. Так, например, в обзорной работе [33], посвященной состоянию
теории распространения волн в случайно-неоднородной среде па 1970 год,
насчитывается более 540 библиографических ссылок. Поэтому дать какую-либо
полную библиографию рассматриваемых вопросов физически невозможно. Ввиду
этого я ограничился ссылками лишь па те работы, результаты которых
непосредственно используются или обсуждаются в данной монографии.
Воспользовавшись случаем, выражаю искреннюю благодарность В. И.
Татарскому за многочисленные стимулирующие обсуждения проблем, затронутых
в книге, и постоянное внимание. Практически, на протяжении последних
десяти лет, весь материал книги докладывался на семинарах по
статистической радиофизике, возглавляемых С. М. Рытовым. Я признателен
как С. М. Ры-тову, так и всем участникам этих семинаров за внимание и
полезные стимулирующие дискуссии. Я признателен также сотрудникам журнала
"Радиофизика", на страницах которого была опубликована подавляющая часть
работ, вошедших в монографию.
Г. И. Бабкин просмотрел большую часть рукописи, и его критические
замечания во многом способствовали улучшению изложения ее материала.
Глава 1
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ПРОЦЕССОВ
§ 1. Случайные величины и их характеристики
Статистические характеристики случайной величины z полностью
описываются функцией p{z), называемой плотностью вероятностей, такой, что
ос
p(z)> О, § dzp(z) = 1. (1.1)
- ос
Среднее значение произвольной функции от случайной величины определяется
с помощью равенства *)
О"
</(z)>= ? dzp(z)f(z). (1.2)
- эс
Важной величиной, полностью характеризующей статистические характеристики
случайной величины z, является характеристическая функция величины z,
определяемая равенством
Ф (у) = (exp {ivz}} = ^ dz р (z) exp {ivz}. (1-3)
-¦ сс
Зная характеристическую функцию, можно получить как плотность
вероятностей (преобразованием Фурье), так и моменты
ос
Afn=<zn> = jj dzp(z)zn= (4-^-) Ф (v) |о=0, (1.4)
- ос
кумулянты (или семиинварианты)
*п = (т--^Т0<у> !"=<•' (4-5)
где 0 (у) = In Ф (и), и другие статистические характеристики. Через
моменты и кумулянты величины z функции Ф (у) и 0 (v)
*) Если случайная величина z может принимать лишь дискретные значения
z),¦ с вероятностями рк, то интегралы в (1.1) и (1.2) заменяются на суммы
по соответствующим индексам.
9
выражаются с помощью рядов Тейлора:
в(и) = ^-^-Кпип. (1.6)
П=0 71=1
Между моментами и кумулянтами случайной величины z имеется нелинейная
связь. Для нахождения ее заметим, что
?ф{и) = ф(и)&р..
Поэтому
rTW \ d"-1 (сЪ de \ ^'+10 ЙП_1_ЛФ м 7\
^ ф (">= 1Ф ТГ) = L с" - ¦ <1Л>
А'=0
Полагая в формуле (1.7) v = 0, получаем рекуррентную связь между
моментами и кумулянтами величины z в виде
П
М" = Z А' U' (Мо = 1. " = 1. 2, • • •). (1-8)
А-=1
с помощью которой легко последовательно получать формулы, выражающие
моменты через кумулянты и наоборот. Так, из (1.8) получаем цепочку
равенств
Мх = Ки
М2 = К1М1 + К2, (1-9)
М3 = К1М2 + 2К2М1 + К3 и т. д., откуда следует, что
Мг = Ки м2 = К2 + К\, М3 = К3 + ЪК2КХ + К\, . . . ;
(1.10)
Kt = Mlt к2 = м2~ Ml к3 = м3 - ъм2м1 + 2м\, ...
Для многомерных случайных величин " = {zl5 . . ., zn} полное
статистическое описание содержится в характеристической функции
Ф (v) = <ехр {iws}> (v- {v1} . . vn}). (1.11)
Соответствующая совместная плотность вероятностей для величин zlt. .
zn является преобразованием Фурье от Ф (v), т. е.
Р(х)=-^ t du Ф (*>) ехр {- ivx} (х= {хг, . . ., хп}). (1.12)
\2.щ t)
Подставляя функцию Ф (v) из (1.11) в (1.12) и выполняя интегрирование по
