Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
диффузионного приближения § 4. Амплитудно-фазовые флуктуации волны
279
Глава 9. Распространение волн в случайно-неоднородных средах
284
(функциональный метод)
§ 1. Континуальная запись решения задачи
284
§ 2. Статистическое описание волнового поля
288
§ 3. Флуктуации интенсивности плоской волны
293
3.1. Случайный фазовый экран (295). 3.2. Случайно-неоднородная
среда (301).
Глава 10. Распространение волн в случайно-неоднородных средах
(приближение геометрической оптики)
309
§ 1. Диффузия лучей в случайно-неоднородных средах
309
§ 2. Амплитудно-фазовые флуктуации
318
§ 3. Геометрическое приближение в статистической теории волн
323
Заключение
329
Литература
332
Мефистофель (об алгебре) - Хотел
бы вас предостеречь я в отношеньи сен науки - то вовсе не простая штука
себя с разгона не вовлечь в пустые преобразованья: не разобравшись в
основаньях, тут даже индексы не просто различать... А в общем, символ -
вот что важно! Владея символами, можете отважно пускаться в изысканья в
мире формул новых.
Курт
Лассвитц, "Прост\" *)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Статистические задачи в настоящее время занимают значительное место в
различных областях физики. Если даже не говорить о задачах, традиционно
относящихся к статистической физике, то имеется множество вопросов, в
которых мы сталкиваемся с необходимостью учета флуктуациониых эффектов.
Хотя причины, вызывающие флуктуации, совершенно различны в различных
задачах (это могут быть тепловые шумы, неустойчивости, турбулентность и
т. д.), методы их теоретического рассмотрения часто очень схожи. При этом
в ряде случаев статистическую природу самих флуктуаций можно считать
известной (либо из физических соображений, либо из модельной постановки
задачи), а физические процессы можно описывать дифференциальными или
интегро-дифференциальными уравнениями.
В настоящее время весьма мощным аппаратом, позволяющим решать довольно
сложные статистические задачи, является возникшая на основе теории
броуновского движения [1-5] теория марковских случайных процессов и
процессов диффузионного типа. Чисто математическим аспектам этой теории
посвящена большая литература (см., например, [6 -13]), и в данной книге
подобные вопросы обсуждаться не будут.
Мы будем рассматривать статистическую теорию динамических систем с
флуктуирующими параметрами, описываемых как обыкновенными
дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в частных производных.
Основная задача заключается в получении замкнутых уравнений для
статистических характеристик таких систем и их исследовании.
Наиболее подробно рассматриваются примеры, в которых флуктуирующие
параметры являются гауссовскими случайными процессами (полями), более
кратко обсуждаются обобщения на случай произвольных процессов.
Цель настоящей книги - показать, как различные физические задачи,
описываемые стохастическими уравнениями, могут быть решены на основе
общего подхода, по своей сути являющегося
*) Русский перевод в книге: В. Лицман, Веселое и занимательное о
числах и фигурах.- М.: Физматгиз, 1963, стр. 64.
5
обобщением теории броуновского движения. При этом выясня ¦ ются
интересные аналогии между весьма различными физическими задачами.
Примеры, рассмотренные ниже, в основном заимствованы из статистической
акустики и статистической радиофизики, что связано с интересами автора.
Однако аналогичные задачи и методы их решения возникают и в
статистической гидродинамике, физике плазмы, физике твердого тела,
магнитной гидродинамике и т. д.
Метод, которым мт>т будем ниже пользоваться, представляет собой
теорию, основанную на разложении решений по малому параметру, по существу
являющемуся отношением времени корреляции случайного воздействия ко
времени наблюдения или другим характерным временным масштабам задачи (в
ряде случаев это будут не временные, а пространственные масштабы). В
теории броуновского движения этому приближению соответствует
пренебрежение временем между случайными соударениями по сравнению со
всеми другими временными масштабами.
Применительно к задачам о динамических системах, движение которых
подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с
гауссовскими флуктуациями параметров, используемый метод приводит к
приближению марковского случайного процесса; соответствующее уравнение
для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Эйнштейна -
Фоккера. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными
