Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
функционалов двух типов. Первый тип функционалов содержит явную
зависимость от случайного процесса z (t) (в рассматриваемом случае это
просто линейная функция), а второй тип функционалов моя^ет зависеть от
процесса z (т) как явным, так и неявным образом (например, через решение
соответствующей динамической задачи). Под расщеплением корреляций мы
понимаем представление среднего значения произведения двух функционалов
через произведение самих усредненных функционалов.
На этом мы закончим пока рассмотрение задачи о параметрическом
возбуждении колебаний за счет флуктуаций частоты (более подробно эта
задача будет рассмотрена в седьмой главе) и перейдем к вопросу о
расщеплении корреляций указанного выше типа.
§ 2. Среднее значение произведения двух функционалов
Ограничимся для простоты одномерными случайными процессами (обобщения
на многомерные случаи не вызывают затруднений). Как было показано выше,
нам необходимо научиться вычислять корреляцию <F [z (т)] R [г, (т)]>, где
F [z (т)] - функционал, явно зависящий от процесса z (t), a R [z (т)]-
функционал, который может зависеть от процесса как явным, так и неявным
образом.
48
Для вычисления этого среднего значения рассмотрим вспомогательный
функционал R Гг (т) + т] (т)],. где г| (t) - произвольная
детерминированная функция, и вычислим величину <F [z (т)] R [z (т) + т|
(т)]>. Интересующую нас корреляцию получим, положив в окончательном
результате т] (т) = 0.
Функционал R [z (т) + т] (т)], как указывалось в первой главе, можно
разложить в функциональный ряд Тейлора по z (г) и представить его в виде
R [z (г) -f rj (т)1 = ехр Ц dx z (х) 7-^-у} R И СО], (2.1)
введя оператор функционального сдвига. Тогда для величины (F Fz] R [z -f-
1]]> получаем выражение
(F[z\R[z-\- ^\)=^F [z]exp{jjdtz (т) R [i'll- (2-2)
Введем в рассмотрение функционал
(h \z (т)1 exp [i \dx z (x) v (T))\
Q[y (t)] = V -¦ ^ ~, (2.3)
(exp {( { dx z (x) v (T)}\
Тогда выражение (2.2) после ряда тождественных преобразований можно
переписать в виде
(F [z] .R[z + Л1> =
(l mexp{jdT*(T) д^})> ь
" / ;Г! ,, Л\ <^1' 1 (т) ^ ^ h (t)1=
<ехР S^j>
= Д | i ] <R V (?) + т] (т)]>. (2.4)
Учитывая, что вариационное дифференцирование по т) (т) можно заменить
дифференцированием по z (х) и положить затем (т) = 0, получаем для
интересующей нас корреляции окончательное выражение [41]:
(F [z (т)] В [z (т)]> = ] R [2 (т)Г> • (2.5)
Таким образом, для вычисления корреляции <FRУ требуется знание
функционала Й [у], который определяется видом функционала F [z] и
статистическим характером самого случайного процесса Z (х).
Рассмотрим теперь структуру функционала Q [у (г)]. Для него имеем
Q [у <т>1 = ф-FwT <(ехр И dx z {х) v(x)+^dxz W ^7т~}> х
где
Ф Iv (т) j = exp {(-) [v (т)]} = <(охр {; \ dx z (т) г (т)})>
(2.7)
- характеристический функционал процесса z(t). Формулу (2-6) можно
записать в виде 1
Ф [г?
(т)] Ф [4-
X
X ф
V (Г)
б'1 (Т) .
1 б
(F[z(x) + г](т)]> |11=0, (2.8)
г бг) (Т)
и, следовательно, выражение для функционала ?2 [v (т)] таково:
/ UT , * б
й [у (т)] = <^ехр |0 v (т) - г - (c) [у СО!
в
б
L ' bz (т) _
F[z (т)]'
(2.9)
Аналогичным образом корреляцию (2.4) можно записать в виде, симметричном
относительно функционалов F и R, а именно:
<F[z (т) + Т)! (т)] R [Z (т) + 112 (т)]>
= юр{в[-Чт^ + тУ;
--- 0 ' 1 6 ~ --- 0
I ОТ|2
X (F [z (т) + Г]!
(т)]> <i? [z (т) + Т)2 (т)]>,
-II
ОТ|2 JJ
X
(2.10)
гДе TIi (т) и т)2 (т) - произвольные детерминированные функции. Формула
(2.10) позволяет представить среднее значение произведения функционалов
через произведение средних зпачений самих функционалов. Основная
сложность задачи в такой форме записи заключена в вычислении действия
конкретного оператора, стоящего в правой части (2.10), на произведение
усредненных функционалов.
В статистических задачах в ряде случаев интенсивность флуктуаций
параметров можно считать малой. Если это так, то функционал F [z (т)]
можно разложить в ряд по z (т) и ограничиться линейным членом разложения.
Практически во всех задачах, рассматриваемых ниже, мы имеем как раз такой
случай. Для линейного функционала F [z (т)] = z (t') функционал ?2 [г;]
