Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 19

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 135 >> Следующая

<z (t) ф (?)> = <^а ехр {га \dxv (t)}^ e~xt +
+ v ^ dtx ехр {- v (t - гх)} ехр {га ^ dx v ('t)|^> Ф(,[у(т)],
(1.9")
п ^ I. ' ^
где индекс а означает, что усреднение производится по случайной величине
а. При этом существенно, что функция ср (t) описывается конкретным
выражением, определяемым формулой (1.6), которое представляет собой явную
запись решения стохастического уравнения.
Рассмотрим теперь простейший нетривиальный пример динамической
системы с флуктуирующими параметрами - задачу о параметрическом
возбуждении колебательной системы за счет флуктуаций частоты. Эта система
описывается уравнением
где z (t) - случайная функция времени. Этот пример нетривиален в том
смысле, что невозможно уже написать решение задачи (1.10) в явном виде. В
то же время ясно, что эта динамическая система должна параметрически
возбуждаться, так как случайный процесс z (t) содержит гармонические
составляющие всех частот, в том числе и частот 2со0/и (где п = 1,2, 3,
...), которые, как известно, и соответствуют параметрическому резонансу.
Перепишем уравнение (1.10) в виде системы уравнений: .
Будем интересоваться поведением статистических характеристик решения
системы (1.11). Усредним (1.11) по ансамблю реализаций z (t). Тогда для
средних характеристик получаем систему уравнений
Система уравнений (1.12) уже не замкнута относительно переменных <хX
<г/>, так как содержит новую неизвестную функцию <z (t) х (t)~}. Эта
функция является корреляцией случайного процесса z(t) с решением системы
(1.11) х (t), которое, в свою очередь, является функционалом от
случайного процесса z (т) при 0 <; х t.
Рассмотрим теперь совместную плотность вероятностей для решения системы
(1.11) х (t), у (t). Поведение функций x(t) и у (t)
X + (Оо [1 + z (?)] х = 0; X (0) = ar0, X (0) = у0,
(1.10)
X = у,
У - - (Dotl + Z (*)] X,
х (0) = х0, У (0) = г/о-
(1.11)
<х> = <г/>, (0)>
= х0,
<?/> = - С0о<ж> - (0o<z (t) х}, <у (0)> = у0.
46
Схематически изображено на рис. 6 для трех реализаций случайного процесса
z (t). Для фиксированного момента времени t совокупность всех возможных
величин х (t), у (t) будет слу- x(t),yit) чайной совокупностью чисел, для
которой можно ввести плотность вероятностей, параметрически зависящую от
времени (см. гл. 1):
Pt(x, у) = <6 (х (t) - х) X
X S (у (t) - у)}, (1.1.3)
где х (t), у (t) - решение системы (1.11) для одной реализации z (I), а
усреднение производится, как и ранее, по ансамблю реализаций z (t).
Дифференцируя (1.13) по t и используя динамические уравнения (1.11),
получаем уравнение
дР( (х, у)
Рис. 6. Схематическое изображение поведения решения системы (1.11) для
трех реализаций случайного процесса z (<).

dt
- <г/ (t) б (х (t) - х)Ь {у (t) - у)>
+ 0)° 7^7 <х (0 6 (х (О - Х)Ь(У (0 - У)) +
ду
+ "о -^>(x{t)z{t)b{x(t)
Используя теперь свойства 6-функции, можно вынести из-под знака
усреднения в правой части (1.14) у в первом члене и ? во втором и третьем
членах и переписать (1.14) в виде
dPt (х, у)
dt
+ <Z (t) 6 (x (t) -x)6(y (t) - y)y.
Начальным условием для уравнения (1.15) будет условие Р0 (х, у) = 8 (х -
х0) 6 (у - у о),
детерминированные величины, или условие Pt (**-! У) |(=о ==
Ро (*о. г/о).
если х0, у о
(1.15)
(1.16)
(1.16/)
если хп
У о
случайные величины, статистически не зависящие от процесса z (t). Здесь
Р0(х0, у0) - совместная плотность вероятностей этих величин.
Уравнение (1.15) не замкнуто относительно функции Pt(x, у), Так как
содержит функцию <z (t) 6 (х (t) - х) д (у (г) - у)).
47
Эта функция обусловлена корреляцией случайной функции z (t) с
функцией
(х,у) - б (x(t) - х) б (у (t) - у), (1-17,1
которая неявно (через решение системы (1.11)) зависит от самого
случайного процесса z (т) при 0 т t, и, следовательно, является
функционалом от этого процесса. Отметим, что сама случайная функция
<pt(z, у) (1.17), как функция своих аргументов, удовлетворяет линейному
стохастическому уравнению в частных производных
+ ^ + (1.18)
с начальным условием
<Ро(я, У) = б (х - х") б (у - г/0), (1.19)
которое называется стохастическим уравнением Лиувилля. Плотность
вероятностей для решения задачи (1.11), введенная выше согласно равенству
(1.13), будет связана с функцией ф4(я, у) равенством
Р,(х, у) - <ф((а:, у)). (1.20)
Таким образом, как видно на примере уравнений (1.12) и (1.15), для
того чтобы получить замкнутые уравнения для интересующих нас средних
величин (если это возможно), необходимо научиться расщеплять корреляции
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed