Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
будет уже зависеть от точки tr, и для него можно написать выражение
Qt, [v (r)] ^ <z(Q exp {^*гг(т)г;(т)}) =
(exp | dx z (t) v (t)|)
^ Ф [i> (t)] i 6v (t'j Ф ^^ " i 6v (?) 0 (2-H)
где Ф [v (т)], как и ранее,- характеристический функционал случайного
процесса.
50
Если воспользоваться разложением функционала (c) [и (т)] в
функциональный ряд Тейлора:
0 [v (т)1 = ^ ' ' § dtl' • ' dtnKn i-tu ' ' ' ' V
^ '"v ^'
n=i
(2.12)
где функции Kn(ti, . . tn) определяют кумулянты (семиинварианты)
случайного процесса z (t) (см. гл. 1), то
со
ЙГ [V (Т)] = ^ ~ jj . . . jj d-tx. . . dtnKn+x (t', tx, ... , tn) V {tx)
¦ ¦ ¦ v (tn)
n=0
(2.13)
и, следовательно, формула (2.5) принимает вид (z(t')R[z (т)]> =
со
= ?4-$.....u< eS[,wl
6z (г,)... 6z (tn)
u=u
(2.14)
Отметим, что если R [z (т)] имеет степенной вид: R [z (т)] = = z (tx)...z
(tn), то формула (2.14) описывает рекуррентную связь между гс-точечным
моментом процесса z (t) и его кумулянтами.
В случае, когда z (t) = z - случайная величина, оператор j dt ё/ёг
(t) переходит в d/dz и, следовательно, формула (2.14) переходит в формулу
(1.1.34). Таким образом, формула (2.14) представляет собой обобщение
формулы (1.1.34) на случайные процессы.
В физических задачах, описываемых системой дифференциальных уравнений
первого порядка по t (как обыкновенных, так и в частных производных) с
начальными условиями при t = О, статистические свойства решения в момент
времени t определяются статистическими характеристиками процесса z (т)
при 0 ^ т ^ t, которые полностью описываются характеристическим
функционалом
t
Ф( [V (т)] = <^ехр |г ^ dr z (т) v (т)}^>, ^
\% [v (т)]=1пФ,[г;(т)].
Функционал Ф4 [г; (т)1 может быть получен из Ф [у (т)1 заменой v (т) -к v
(т) 0 (т) 0 (t - т), и, наоборот, функционал Ф \v (т)] может быть получен
из Фг [v (г)] предельным переходом по t. В этом случае все полученные
выше формулы остаются в силе для вычисления статистических средних <z
(;t') Rt [z (т)]> при t' <t, т ^ t,
51
т. е. имеет место равенство
<Z(f)i?([z(t)]) = ^Q(,^_^'j^[z(T)]^> (0 <*'<*), (2.16)
где
Qt. [У(т)]=4-^А_-Э( [г(т)] =
00 .п *
= ? S " • S dil " • dtnKn+i (*', *i, . . •, tn) V (h) ...V (f"). (2.17)
n-o 0
В случае, когда точка t' совпадает с t, формула (2.16) по-прежнему имеет
место, т. е.
<z (*) Rt iz (т)]> = <(Ог [7^] R, [z (t)f> • (2.18)
Однако формула (2.17), как мы увидим ниже, не всегда будет давать
правильный предельный переход при t' -> t (т. е. операции предельного
перехода и разложения в функциональный ряд Тейлора могут быть не
перестановочны). В этом случае
а, [¦> М] = ^ ф, и*)1 = -^44 е, м). (2.19)
Разложение функционала ?2* [v] в ряд Тейлора будет определяться
выражением
00 t
[у (х)] = ^,-^г ^ '' S 1" 'dtnLn+1^'tu • • • * tn)v(ti)- ¦ • y(*n)>
П- 0 0
(2.20)
где Ln+1 (t, ii, . . ., tn), вообще говоря, не соответствует предельному
переходу в Кп+1 (?', tlt . . ., tn) в формуле (2.17) при I' -> I, т. е.
статистические средние (2.14) и (2.18) могут претерпевать разрыв при ?' =
t.
Рассмотрим теперь на конкретных примерах применение полученных выше
формул. Как уже отмечалось, в физических приложениях наиболее часто
рассматриваются модельные задачи, когда случайный процесс z (t) можно
считать либо гауссовским, либо пуассоновским случайным процессом, либо
процессом телеграфного типа. Поэтому при рассмотрении конкретных примеров
ограничимся именно такими процессами.
§ 3. Гауссовский и пуассоновский случайные процессы
Для гауссовского случайного процесса все формулы, полученные в
предыдущем параграфе, существенно упрощаются. В этом случае логарифм
характеристического функционала 0 [у (т)] имеет вид (среднее значение
процесса ъ (t) считаем равным нулю)
52
(1.3.9) и, следовательно, функционал й [г; (т)] (2.9)
принимает вид
g [v (t)] = <Лхр {г dtj dx В (т, тх) и (тх) F [г (т)]^>. (3.1)
Оператор, стоящий под знаком усреднения в правой части равенства (3.1),
представляет оператор функционального сдвига, и, следовательно,
Q [и(т)] = <V[z(т) -f i J dxtB{x, тх)г;(тх)])>, (3.2)
а формула (2.10) запишется в виде
(F [г (т) -Ь г]! (т)] Л [г (т) + г]2 (т)]> =
= ехр {^ J dx,dx, В (ть т") 64(Ti)6^(T2) } <F [г (т) Лг (т)] > X
х (R[z(x) + 1)2(х)]>. (3.3)
В формуле (3.3) можно выполнить операцию вариационного дифференцирования
