Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
(t). Как мы увидим в третьей главе, см. (3.5.48), оператор
Lz является иптегро-дифференциальным оператором:
оо
LJ (z) = а ~ zj (z) ! ¦ v ^ dlp(l) ехр - 1 / (z),
(5.13)
- Со
и, следовательно, правая часть (5.9) выглядит так:
- a <z (t) fz (z (t)) R, [*; z (t)]> +
oo
¦fv j dl p (I) ([f (z (t) + ?) - f(z(t))\Rt[t;z(x)]}.
(5.14)
- oo
В частном случае / (z (t)) = z (t) получаем
-a <z (t)Rt It; z (t)]> + v <?><Д4 If, z (t)]>.
(5.14')
65
3) Для телеграфного процесса z (t) оператор Lz, согласно формуле
(1.4.24), равен
(z) = -v [/ (z) - / (-z)]
(5.15)
и можно рассматривать случай только линейных по г функций (см. формулу
(4.1') этой главы,). При этом правая часть (5.9) принимает вид
-2v <z (t)Rt [t, z (т)]>.
(5.16)
Отметим, что в данном случае, согласно (5.6) и (5.7), имеет место
равенство (tf ;> t)
<z (t')Rt [it; z (т)]> = exp {-2v (t - t')} <z {t)Rt [t; z (r)]>,
совпадающее, естественно, с формулой (4.10).
4) Для обобщенного телеграфного процесса z (t) оператор Lz,
согласно формуле (1.4.39), определяется формулой
Lzf (z) = -vf (z) + vpa (z) j dz'f (z')
(5.17)
и, следовательно, правая часть (5.9) такова:
-V </ (z (t))Rt It; z (т)]> + V </ (a)} <Rt U; z (t)]>.
(5.18)
В частном случае f (z) = z из (5.18) получаем
-V <z (t)Rt It; z (т)]> + V <a> It; z (r)]>.
(5.18')
В случае же f ^ t, согласно (5.6) и (5.7), имеет место равенство
<б (z ОО - z)Rt [t; z (т)]> =
== <б (z (t) - z)Rt [t; z (t)]> exp {-v (f - i)} +
+ pa (z) </?( [if; z (т)]> (1 - exp {-v (f - t)j).
(5.19)
Первое слагаемое в правой части (5.19) описывает случай отсутствия
скачков процесса z (t) на интервале (t, f), а второе слагаемое
соответствует наличию скачков. Умножая (5.19) на / (z) и интегрируя по
всем z, получаем
</ (z (t'))Rt It; z (т)]> ==
= <J (z (t))Rt [t; z (t)]> exp {-v (f - if)} +
+ </ (")> <,Rt z (т)]> (1 - exp {-v (t' - t)}) (f > t).
(5.20)
Формулы дифференцирования корреляций для гауссовского и телеграфного
процессов были получены впервые другим путем в работах [46].
Отметим, что все формулы: (5.12), (5.14') при <Н> = 0, (5.16),
(5.18') при <а)> =0 имеют один и тот же вид, хотя они и описывают
совершенно разные процессы. Этот факт говорит скорее всего
о том, что особой пользы от их практического применения ожидать не
приходится. Однако, как мы увидим далее, в случае телеграф-
ного и обобщенного телеграфного процессов формулы (5.16), (5.18) будут
полезны для анализа стохастических линейных уравнений.
Остановимся теперь на некоторых обобщениях формул, полученных выше.
Прежде всего отметим, что если мы имеем векторный марковский процесс г
(t) = (t), . . zn (t)}, описываемый
оператором L", то функционал
t
Тг[г, v (т)1 = <(d(z (I) - ")ехр |г§с2тг(т)"(т)У)>, (5.21)
где v (t) - {У] (t), . . ., v,y (t)}, удовлетворяет уравнению
d*F, [г, v (т)1
------jt-----= {Lz + izv (t)} T, [z, v (т)] (5.22)
с начальным условием
[s, W (т)] = Р0 (*). (5.23)
Теперь ие представляет труда выписать формулу для корреляции (F (z
(t))Rt [t\ z (т)])>, а также формулу для дифференцирования этой
корреляции по времени, которая такова:
-^-<f(s(*))iM*;s(T)l> =
= </(* (*)) -'У I ¦ <Rt Ul * (T)l & F (* (0)]>, (5-24)
где lZ - сопряженный к Lz оператор. В важном частном случае, когда все
компоненты вектора z (t) являютея статистически независимыми марковскими
процессами, описываемыми одним и тем же оператором Lz, формула (5.24)
существенно упрощается и принимает вид
д ' / SR-i [Я я (т)] \
<F (z (t)) Rt [t; z (т)]> = <^F (z (t))-^ +
N
+ ? (Rt [t; z (t)] [Lth *>(*))]>. (5.25)
Jr==l
Так, например, для всех перечисленных выше процессов с корреляционной
функцией
<z (t)z (t + т)> = <z2> ехр {-а | т |} (5.26)
имеет место равенство
+ "&) <Zi (t) ¦ . . zk (t) Rt [t; z (t)]> =
/ dRt \ /С 0-74
- \zi (t) ¦ ¦ ¦ zn (t)--------л--/ • (5-27)
Формула (5.27) определяет прчвило вынесения операции дифферен-
67
цирования по времени из-под знака среднего. Так, из (5.27) получаем
соотношение
. Zk(t)----г,-----/> =
