Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
а функционал Rt[a] = Rt [0, a, 0].
Отметим, что в случае обобщенного телеграфного процесса для
корреляции </ (z (t)) Rt [z (т)]>, где / (х) - произвольная функция, в
силу равенства (1.4.61) также имеет место формула, аналогичная (4.15):
</ (z (t)) Rt [z (т)]> = </ (a) Rt [a]> e~vt +
t
+¦ v jjcftiexp {-v(t - tt)} (f(a) Rt [^i, a, z(t)]>,
(4.17)
0
где fit в правой части описывается выражением (4.16).
§ 5. Марковские процессы
Процессы телеграфного типа, рассмотренные в предыдущем параграфе, как
отмечалось в первой главе, являются простейшими марковскими процессами.
Рассмотрим теперь те следствия, которые можно получить для корреляций
функционалов из одного лишь условия марковости процесса z (t).
Для марковского процесса z (t) общего вида нет уравнения для его
характеристического функционала. Имеется только интегральное уравнение
для функционала
i
XF< [z, v (т)] = <^б (z (t) - z) ехр li^dxz (т) v (т)|у>,
^ о
описывающего статистическую связь процесса z (t) в момент времени t с
его предысторией. Это уравнение было получено в § 4 первой главы и имеет
вид
'?t\z,v(x)] = Pl(z) +
t СС
+ i^dtiV^!) ^ dz^p (z, t |zi, ti) T(l [zl5 v(x)], (5.1)
63
где Pt (z) - одновременная плотность вероятностей для z (t), а р (z, t j
Zj. ti) - плотность вероятностей перехода. В этом случае, действуя
методом, подробно описанным в предыдущем параграфе, можно получить
интегральное равенство с вариационными производными для корреляции <6 (z
(t) - z) Rt U; z (т) + f Л (т)]> (t < t) вида
(6(z(t) - z)Rt \t-z(x) + г|(т)]> = T, z,-j-- j vi(t)]. (5.2)
Отметим, что оператор T, z, j является оператором функ-
ционального сдвига, хотя это нам здесь и не существенно.
Для марковского процесса z (t) функции Pt (z), р (z, t \ zlt (x)
удовлетворяют линейным операторным уравнениям
дР. ~ йп
-ir = L*P"ir = Lzp, (5.3)
где Lz - интегро-дифференциальный оператор по 2.
Продифференцируем равенство (5.2) по t. При этом учтем, что,
в силу определения функционала Rt [it; ri (т)], - Rt [t\ г\ (т)[ ~
ОТ) ,fi)
¦-¦ 0 (# - tx) и не надо дифференцировать по верхнему пределу (который
можно положить равным оо). Кроме того, имеет место равенство (см. формулу
(1.2.11))
4-таг Rt [t; 11 (т)] =¦' таг тг № 'I (т)ь (5-4>
т. е. операция дифференцирования перестановочна с операцией вариационного
дифференцирования. В результате (с учетом (5.3) и (5.4)) приходим к
формуле дифференцирования рассматриваемой корреляции по времени (г) (т)
можно положить равной пулю) [221:
-|-<б (z (0 - z) Rt [t\z (т)]> =
/ дП, [г; г (т)1 \
=- <6 (z (?) - г) - ~дТ - ¦} + Ьг <б (z (t) - z) Rt\t; г (т)]>. (5.5)
Аналогичным образом, используя уравнение (1.4.47') для функ-
t
ционала 4V, < [z, v (г)] = <6 (z (?) - z) exp {г j dx z (x)v (т)}>, где
0
? ^ t, можно получить уравнение, справедливое при ? t:
-Jr- <б (z (?) - z) Rt [t\z (t)]> = Lz <6 (z (?) - z) Rt [t\z
(t)]>, (5.6)
начальным условием для которого является условие
<6 (z (?)~z)Rt [t; z (т)]> I r=t = <6 (z (0 - z)Rt It; z (r)]>.
(5.7)
Умножим теперь равенство (5.5) на / (z), где / (z) - произвольная
функция, и проинтегрируем по z. В результате получаем
формулу дифференцирования d /i44 п ri. ,_ч,ч /,, ,1ЧЧ 9Rt [t;
г(т)]
(it
/ an, if; z (T)j \
</ (z (/)) Rt \t\ Z(r)]> = </ (z (/)) ' - -> +
ОС
^ dzf(z)Lz(d(z(t) - z)Rt[t;z(T)]),
(5.8)
которую можно переписать в виде
d
dt
/ d~Rt It', z (t)l \
</ (z (/)) Rt [/; 2 (t)]> - </ (z (/)) - gr-/ =
= <#, [*; z (t)] [Lz / (z (*))]>, (5.9)
где введен оператор L~, сопряженный к оператору Lz.
Формулы (5.5)-(5.9) определяют правила дифференцирования по времени
корреляций функций от марковского процесса z (t) с функционалами от него.
Рассмотрим примеры марковских процессов.
1) z (t) - гауссовский марковский процесс. Оператор Lz
описывается формулой (1.4.30):
Z, = -b1<o-JU + -^-?,
(5.10)
и правая часть формулы (5.9) принимает вид
- Вг (/) <z (t) fz (z (f)) Rt [t; z (т)]> +
+ -\-Ri (t) (fzz (z (*)) Rt [*; z (t)]>.
(5.11)
В частном случае / (z) = z имеем
-BAt) (z{t)Rt [t; z(t)]>.
(5.12)
2) Пусть z (t) - пуассоновский процесс с импульсной
функцией е~и1 0
