Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
по T)i (т) (что сводится к функциональному сдвигу) и положить г)! = 0. В
результате получаем равенство
(F[z{x)]R[z(x) + т](т)]> =
= <(F Z(x) + ^dxxB{x, Ti)--^><-R[z(T) +Г!(т)]>, (3.4)
соответствующее равенству (2.4), с функционалом Q [и (т)] вида
(3.2).
Пусть, например, F [z (т)] = z (t). Тогда формула (3.4) принимает вид
<z (t) В [z (т) + 1] (т)]> = ^dxxB (t, xt) [2 (т) + г] (т)]>. (3.5)
Заменяя теперь дифференцирование по г\ (тх) на дифференцирование по z
(тх) и полагая т] ¦-= 0, получаем равенство
¦ <z (t) R [z (т)]> = jj dx-,B (t, n) )> ' (3-6)
которое в физической литературе принято называть формулой Фурутцу -
Новикова по имени авторов, впервые ее получивших [42, 14] (см. также
[43]).
Далее мы будем использовать многомерное обобщение формулы (3.6),
которое, как легко видеть, можно записать в виде
<z*.....*п мв м>=Sdr' и....................¦" <^ryW> '
(3.6')
где через г обозначены все непрерывные аргументы случайного поляг (г), а
через . . ., in - индексные аргументы. По повторяющимся индексным
аргументам в правой части (3.6') предполагается суммирование.
53
Если в формуле (3.4) положить F [z] = exp {i\dx z (т) v (т)}. то
получаем равенство
<ехр {г J dx z (т) v (t)} R [z (f) + Ц (*)])> =
= <fexp |i d%!V (Tj) [z (TO + ^dxB (t, tx) x
X (R [z (t) + т] (t)]>.
(3.7)
Учитывая теперь определение характеристического функционала процесса z
(t) и то, что оператор в правой части (3.7) представляет собой оператор
функционального сдвига, можно переписать правую часть (3.7) в виде
Ф [V (т)] <^й [z (т) -)- г) (т) + г j d%xB (т, тг) v (тх) J^> .
(3.8)
Полагая теперь т] (т) = 0, получаем окончательное равенство:
<^ехр |г j dx z (х) v (г)} R [z (t)]^> =
= Ф [у (т)] <(r j_z (т) + i J dxxB (t, tx) v (tx)]^>,
(3.9)
т. e. в правой части (3.9) под знаком усреднения к случайному процессу z
(т) добавляется детерминированная мнимая составляющая. Формулы (3.6) и
(3.9) представляют обобщение формул (1.1.18) и (1.1.19) на случайные
гауссовские процессы. При этом формулу (3.9) можно получить и другим
способом, аналогичным выводу формулы (1.1.19), рассматривая
соответствующий континуальный интеграл (см., например, [44]).
Если случайный процесс z (t) определен только на отрезке времени [0,
t], то функционал €>t [v (т)] будет определяться выражением
t
e,[i;(T)]=------dxi dx2 (z (Tx) z (т2)> v (тг) v (т2)>
(3.10)
о
а функционалы Q будут линейными функционалами:
г
Q,,[i;(T)] =T^Ay0([j;(T)] = i^ dx <z (t') z (t)> v (x),
(3.11)
0
t
?lt[v (t)] = : ~-dt- (r)t [V (t)] = i ^ dx <z (i) z (т)> v (t),
(3.12)
lo
и, следовательно, формулы (2.16), (2.18) будут иметь вид
<z (Г) Rt [Z (т)]> = jj dx (z (О g (?)) (*'<*),
(3.13)
0
54
совпадающий с равенством (3.6) при выполнении условий Щ [z (т)|
bz (т)
=г 0 при т 0, т t.
(3.14)
(3.15)
Отметим, что в этом случае формула (3.9) принимает вид t
<^ехр ji dx z (т) г(т)| Rt [z (т)]у> =
О
t
= Фг [у (т)] <(r{ [z (т) + i | dxxB (т, tx) V (xx) .
Рассмотрим теперь среднее значение
Ф, [v (т), и] = ехр {;-)([V (т), и]} =
t
= <^ехр li^dxz (т) v (х) -j- iuFt [z ('r)l}/> •
(3.16)
о
Функционалы Ф( и (c)( описывают совместные статистические характеристики
процесса z (т) и функционала от него Ft [z (т)]. При и = О Ф( [и (т), и]-
*-Фг [и (т)] является характеристическим функционалом процесса z (t), а
при v = О Ф< [и (т), и] Фг [и] - характеристической функцией случайной
величины ? = Ft[z (т)]. Для гауссовского процесса, согласно (3.15),
0, [V (т), и] =0, [У(Т)] +
+ In <(ехр jiuFt z + i § dx,B(x, t3)y (Tj)]J^>.
В этом случае
-I 50, [v (т), и] , г !- К
u=o = <(Ft z (t) + i ^ dxxB (t, tx) v
(Ti) \y ,
du
(3.17)
(3.18)
и, следовательно, варьируя (3.18) no v (т) в точках tx, . . tn и полагая
v = 0, получаем выражение для совместной кумулянтной функции процесса z
(t) и функционала от него в виде
¦^п, 1 (^Ъ *2i • • * 1 0
f* f* ^)F \z (t)!
= Sj...\jdx1... dxnB (tu x,)... В (tn, xn) <(-6-(Ti)v..6z-(T)>, (3.19)
о (tm)
обобщающем равенство (1.1.25) на случай гауссовских процессов. В
