Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ot[N,v (т)] = <^ехр ji ? cfa (т) и (т)Г> = {Ф? [v (x)])N. (4.68)
О
Дифференцируя (4.68) по t, получаем, в силу (4.66), уравнение -^-1пФ(
[Л'(т)] =
Г \v (т)]
= - a2v (t) jj dhv (h) exp {- a (t - t^} -j, ^ ^ ¦, (4.69)
откуда следует, что при N -оо (в силу (4.67))
t
In Ф( [оо, v (т)] = - a2v (t) dtxv (?i) exp {- a (t - ?i)}, (4.70)
о
т. e. процесс ? (t) = lim ^(t) является гауссовским процессом N-x>
с экспоненциальной корреляционной функцией
<1 it) I (t + т)> = a2exp {- a I т I }, (4.71)
т. e. гауссовским марковским процессом. Таким образом, процесс ?лг (t)
(4.64) является аппроксимирующим процессом с конечным числом состояний
для гауссовского марковского процесса. Такая аппроксимация может быть
полезной не только для изучения самого гауссовского процесса, но и
функций от него. Так, например, для процесса г (г) = Iй (t) - <?2 (?)>,
где \ (t) - гауссовский марковский процесс с корреляционной функцией
(4.71), аппроксимация конечным отрезком ряда (4.64) принимает вид
N
ZN(t)= S z (t) = lim zN (t). (4.72)
1^=1 N-*oc
Как мы увидим далее, с такой формой записи гораздо более удобно
работать при анализе стохастических уравнений, чем с самими процессами ?
(t) и z (t).
На этом мы закончим описание марковских процессов и перейдем
непосредственно к анализу стохастических уравнений.
Г лава 2
РАСЩЕПЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИЙ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
§ 1. Примеры динамических систем
Чтобы ясно представлять себе те основные особенности и трудности, с
которыми мы сталкиваемся при рассмотрении статистического описания
динамических систем с флуктуирующими параметрами, рассмотрим несколько
простых примеров стохастических уравнений.
Прежде всего рассмотрим уравнение, которое называется уравнением
Ланжевена:
и описывает флуктуации скорости частицы под действием случайных сил /
(t). Для заданной реализации сил / (t) решение уравнения (1.1) имеет вид
и, следовательно, зная статистические характеристики случайного процесса
/ (t), можно найти все статистические характеристики процесса х (t). Так,
для характеристической функции срt(x) = = <ехр {ixx (?)}>, описывающей
все одновременные характеристики скорости х (t), получаем выражение
где усреднение производится по всем реализациям процесса / (t). Если
ввести характеристический функционал случайных сил
(1.1)
x(t) = ^dx f (т) ехр {- К (t - т)},
(1.2)
о
Ф; (%) = <^ехр jt% ^dxf (т) ехр {- % (t - т)} j^> ,
(1.3)
то выражение (1.3) можно переписать в виде
<р*(х) = Ф(Ы ехр {- X (t - т)}].
44
(1.4)
Таким образом, из рассмотрения этого простого примера можно сделать
два вывода (которые на самом деле относятся к существенно более широкому
классу задач):
1) Стохастическое решение уравнения (1.1) в момент времени
I определяется поведением случайных сил / (т) на интервале времени (0, t)
и не зависит от значений функции / (т) при т t. Этот факт мы будем
называть условием причинности.
2) Статистические характеристики решения задачи (1.1) в момент
времени t определяются статистическими характеристиками сил / (т) на всем
интервале времен (0, t), т. е. для нахождения одноточечных характеристик
решения задачи (1.1) необходимо знать характеристический функционал
случайных сил / (t).
В качестве второго примера рассмотрим стохастическое уравнение
где v (t) - произвольная детерминированная функция, a z (t) - случайная
функция времени. Решение уравнения (1.5) имеет вид
Таким образом, среднее значение решения стохастического уравнения (1.5)
определяет сам характеристический функционал процесса z (t). При этом,
если мы усредним непосредственно уравнение (1.5), то получим уже
незамкнутое уравнение
содержащее новую неизвестную функцию (if) <p (f)>. В ряде случаев эта
функция выражается через функцию Фт, и уравнение (1.8) определяет
уравнение для функционала Ф*. Так, например, для гауссовского процесса z
(t), согласно (1.3.11),
где В (t, т) - корреляционная функция процесса z (t). Для телеграфного
процесса, согласно (1.3.31),
<z (t) ср (*)> = - ial § dt1 exp {- 2v (t - h)} v (tx) Ф() [у (т)],
(1.9')
-jr=iz(t)v(t)q>, cp (0) = 1,
(1.5)
(1.6)
Усредним выражение (1.6):
Ф( [и (Т)] = <ф (*)> = <(ехр ^ dx z (т) v (т)|^> .
о
(1.7)
-^-Ф, [w(t)] = iy(f)<z(0ф(0>.
(1.8)
<z(t)q>(t)) = i § dxB(t, т)у(т)Ф( [г;(т)],
(1.9)
о
о
45
а для обобщенного телеграфного процесса, согласно (1.4.62), имеем
