Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 24

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 135 >> Следующая

тг > t2 и l2 > t-i. Тогда формула (4.4) запишется в виде <Ftl [z (Ti)]
R[Z (т2)]> = </'(, [z (Tj.)J> </?<= [Z (т2)]> +
+ ~г,2^' ехР (^2 - ?i)} (z (^1) Fи lz (Ti)l) (h) R'2 [z
(t2)]>.

(4.4')
Так как функционалы Fh^b (4.4) произвольны, то и функционалы F и R в
(4.4') также произвольны.
В четвертом параграфе первой главы было показано, что случайный
процесс gjv (t) = Zi (t) + . . . + zN(t), где (t) - статистически
независимые телеграфные процессы с корреляционной
функцией-^- ехр {- а|т|}, при N ->¦ оо переходит в гауссовский
марковский процесс. В этом случае можно получить формулу, аналогичную
формуле (4.4'). В самом деле, для функционалов от процесса ?дг (t),
последовательно проводя усреднение по zt (t), z2 (t) и т. д. и каждый раз
используя (4.4'), получаем равенство
<^Л!*(Т1)]Д'*[?* Ы]> =
N к
= ^ с% ехр {- ак (t2 - trf} Fk (ti) Rk (t2), (4.5)
k=o
где
Fk (ti) = <zi (*i). . • zk (t,) Fu [g/v (tj)]>, Rk (t2) =-
<Z! (t2) . . . zk (t2) R'* [|лг(та)]>.
Переходя к пределу N ->¦ оо в (4.5), получаем равенство
<^Л!(т1)]ДЧ!(та)]> =
оо '
= У ехр {- ак (t2 - tj}} Fk (tj) Rk (t2), (4.5')
/,-=о °
где ? (т) - гауссовский марковский процесс, tl 11 ^ t2 ^ т2, а Fa (<i)
= lim NkFk (ti), Rk (h) = lim NkRh- (h).
N--^oс Ar-
Формулы (4.4'), (4.5'), как мы увидим далее, удобны для анализа
интегральных стохастических уравнений.
Формулы (4.3) и (4.4) содержат билинейную комбинацию процесса z
(t), что не всегда удобно для их практического применения.
Для вычисления же корреляции <z (t) Rt [z (т)]>, где т t, как
указывалось выше, надо знать характеристический функционал процесса z
(t), который не известен. Однако для него имеются уравнения (1.3.30),
(1.3.31), описывающие связь функционала
1 d
*F( [у (т)] = (т)1 непосредственно с самим характери-
стическим функционалом Ф( [у (т)]. Этой связи достаточно, чтобы выразить
величину <z (t)Rt [г (т)]> через <i?>. В самом деле, для
58
любого функционала Rt [z (т)], где т ^ t, имеет место цепочка равенств
(z(t)Rt[z(x) + i1(t)]> =
t
= <z (I) exp J Jdrz (t) ^ j > Rt [tj (t)] = T( [^-g^-1 Rt [П (t)] =
t
= aRt [л Ml e~2v( + a3 jj dti exp {- 2v (t - h)} -^y X 0
11
x <(exP^dTZ(T) ¦^^y}^>i?([Tl('t)] = o^f[il('t)]e-2v' +
0
t
+ a2 ^ dh exp {- 2v (t - *x)} -~-j <i?, [Л CO + z (t) 0 (*x - t)]>, (4.6)
о
где г] (т) - произвольная детерминированная функция. Полагая г] ss 0,
получаем окончательное выражение [20]:
(z(t)Rt [z(T)]) = oi?,[0]e-w" + t
-f а2 ^ dti exp {- 2v (г - гх)} <^А^-Яг [Jj, z (t)])>,
(4.7) о
где функционал Rt [tu z (т)] определяется формулой
Rt \h, z (t)] = Rt [z (t) 0 (?x -т + 0)]. (4.8)
Если теперь величина а случайна с распределением вероятностей
р (а) = у 16 (а + а0) + 6 (а - а0)], то, усредняя формулу (4.7)
по а, получаем равенство
<z(f) Rt [z(t)]> = t
= Oo ^ dti e*p { - 2v (г - ti)} Rt [h, z (t)f> . (4.9)
о
Формула (4.9) по внешнему виду очень напоминает равенство для расщепления
корреляции процесса z (t) с функционалом от него Rt [z (т)] в случае
гауссовского процесса с экспоненциальной корреляционной функцией (см.
формулу (3.13)). Отличие состоит в том, что в правой части (4.9) стоит не
сам функционал Rt \z (t)J, а функционал Rt, "обрезанный" по процессу z
(т).
Мы рассмотрели корреляцию <z (t') Rt [z (т)])- при t' = t. Если же
t' t, то эту корреляцию можно записать в виде
<z (О Rt [Z (т)]> = -i- <z (t') z (t) z (t) Rt [z (T)]>,

59
и, следовательно, согласии формуле (4.3), имеет место равенство <z (О Rt
[z (х)]> =
= exp { -2v [t' - ?)} <z it) Rt [z (x)]> (t' > t).
(4'.10)
Аналогичным образом получаем также выражения <Rl° [z (т)] z (*')> =
<i?(" [z (x)] z (?")> exp {-2v (t0 - t')}, (4.10') где t' < t0 < x < t, a
<flhz(T)]z {t0)y =
t
= og jj dh exp {- 2v (h - Rl°[z (T) 0 (x - h -|- 0)1> .
(4.9')
t о
Для вычисления корреляции <z (?) Rl° [z (x)J)>, где to < I < t,
< т < ?, рассмотрим функционал
t
Ф(,u [о (01 = <(exp jt J dx z (x) V 0 (t - t0),
to
который, очевидно, удовлетворяет интегральному уравнению, аналогичному
уравнению для характеристического функционала Ф*0 процесса z (t)
(1.3.31):
= -t0)-
t T,
- flo j dx^v (xx) J dxov (t2) exp {- 2v (Xj - xa)} ФТг_ ,0,
(4.11)
^0 fo
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed