Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
функция поля к (г) от двумерного вектора х.
В силу формулы (1.12) нам достаточно изучить статистические
характеристики функции г|).
288
Усредняя формулу (1.13) по ансамблю реализаций поля е, получаем
<о|з(;г, р, х)> =
=ехр {ik f ^ ехр {- -т А (°) 4t=o =ехр {" т-А (0)4 •
О
и, следовательно, выражение для среднего поля имеет вид
<и (х, р)) = ехр |----Л(0)а;| ^ dxu0 (х) ехр jixp - ;rj ,
естественно, совпадающий с формулой (8.2.18).
Образуя билинейную комбинацию о|л|з* и усредняя, получаем (здесь
обозначим pi - р2 = р, Xi - щ - и)
<о|з (х, plt xi) ip* (а;, р2, и2)> =
X X
х ехР {- it J D (р + jj dTi [Ti (Ti) - (л) - -?-] )1 =0 0 1 1 (где D
(р) = А (0) - А (р)). Делая функциональную замену пе-
ременных Ti - т2 = т, Ti + т2 = 2Т, это выражение можно переписать в виде
X
А2 1
- ох ОХ- )
о
<0(3 (х, Pl, Xi) о(з* (а-, ра, и2)> = ехр j-i jj dg
о
х ехр {" Т J ^ (р + J ^ (Л) - т])}т=г=" =
о I
X
= ехр {-^d^(p--?-(*-?))} (2.2)
о
и, следовательно, получить выражение для функции когерентности второго
порядка <и (х, pi)и* (х, р2)>. Аналогичным образом легко получить
выражение и для продольной корреляции (х\, Pi)w* (ж2, р2)>. Эти
выражения, естественно, совпадают с формулами (2.19), (2.19") предыдущей
главы. Для всех остальных моментов полей и (х, р^ и и* (х, р2) замкнутых
выражений получить не удается. Это обусловлено тем, что в рассмотренных
задачах дифракционные эффекты не сказываются на статистическом поведении
функций <о(з> и <г|п|)*> (действие соответствующих операторов сводится к
единице), в то время как для всех других моментов влияние дифракционного
оператора существенно.
Выражения для среднего поля и функции когерентности, как было показано в
предыдущей главе, легко получить и непосред-
289
ственно, усредняя соответствующие стохастические^; уравнения. В этом
смысле для вычисления указанных величин эти методы можно считать
эквивалентными. Представляется, однако, существенным, что с помощью
операторного метода, или континуального интеграла мы можем выписывать
выражения для таких величин, которые не могут быть описаны замкнутыми
уравнениями (например, выражения, связанные с флуктуациями интенсивности
волны). Так, например, можно получить замкнутое уравнение для функции
когерентности четвертого порядка
с помощью которого затем найти величину </2 (х, р)>, полагая в решении
pi = р2 = р3 = р4 = р. Однако решить аналитически это уравнение не
представляется возможным, и оно содержит много лишних (для нахождения
</2" параметров, в то время как запись величины </2 (х, р)> в
континуальном виде этих параметров не содержит. Поэтому такая запись
может быть полезна для изучения асимптотических характеристик любых
моментов и, следовательно, распределения вероятностей для интенсивности
волнового поля (см. следующий параграф). Кроме того, в ряде случаев
представление поля в операторном виде позволяет найти соответствующие
средние характеристики технически проще по сравнению с изучением
соответствующих уравнений. Так, в § 4 предыдущей главы при изучении
амплитудно-фазовых флуктуаций требовалось вычислить величину <е (г/, рг)/
(х, р2)> (х ^> у). Если исходить при этом из уравнения (1.1), то следует
составить дифференциальное уравнение для величины е (у, pi)u (х, р2) и*
(х, р3) при у < х, усреднить его, установить граничное условие для
величины (&ии*у при х = у, решить полученное уравнение с соответствующим
граничным условием, а уже затем положить р3 = р2. В то же время
вычисление этой величины с помощью представления I (х, р2) в операторном
виде мало чем отличается от вычисления величины <ojn|)*>, рассмотренного
выше. Запись решения в виде континуального интеграла удобна и при анализе
структуры волнового поля, отраженного от зеркальной поверхности [41].
Используя формулу (8.1.15) и явное выражение для функции Грина (1.19),
для поля отраженной волны в точке (0, р) получаем выражение (предполагаем
для простоты, что зеркало пространственно однородно, т. е. V (р2, рх) = V
(р2 - рг))
Г4 = {и (х, Pi)и (х, р2)и* (х, Рз)и* (х, р4)>,
Мотр (0, p) = jjdpF (р) ехр {J- J dg X
п 12
О
X ехр at, |е р - ^ arj tij + е (ё, р - р - ^
dr)T2jJ|x
О
290
которое можно переписать в виде
L L
+ e(i, Р-Р + ^Лт1+ ^т)т2 - -j- (2L~^)]}t =0*
(2>4)
л %
*
О I
