Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
согласно (3.17), складывается из трех составляющих:
В^х, р)=(/(х, р') I (х, р")> - 1 = В? (х, р) + Bf {х, р) + ВТ (а-.р).
Наибольшая из них равна
В(Р (ж, р) = | Г2 (х, р) |2 = ехр -\-k2AxD (p)J .
Вычисление слагаемых В(Р и В(Р дает
Г (р2 - 1)/2 при р <:г0
- Р) - 1
Bf (.х,
[ - х2Ах A2D (р)/4 при р^>г0.
ВТ (х, р) = (|32 - 1 )/2 при р •<
рА,
(3.20а)
(3.206)
(3.20в)
В{Р{х, р) = -^-к2Ах cD,
\-4-y
X ^ dx y? ехр |
О
к2 Ах
D (пг)} при Р/с<Р<го- (3.20г)
Масштабом функции В(Р (х, р) является радиус когерентности рд>
Схематический вид функции Bi (х, р) приведен на рис. 20.
Изложенные соображения легко обобщаются на более высокие момен-
рис> 20. Схематический вид
ты Г2". При этом мы ограничимся корреляционной функции
исследованием </п> = Г2п (х, 0). Фор- флуктуаций интенсивности
_ ' ' ' 7 ' ± Г" / ~ Л\ гглтт
Жиь'ГТТЛЛПОТТиПМ -V
мула (3.8) в этом случае имеет вид
к уп
Вг (х, р) при фиксированном х.
</п> = (-2НгГ W---d*"nX
X
v2:
где
F = -^-k2Ax ^ (- iy+l~iD(vj - vt
j, 1=1
г)}. (3.21) (3.22)
Функция F связана со случайными набегами фазы S (vt), определяемыми
формулой (3.6), соотношением
Отсюда ясно, что если все нечетные точки Таг+i совпадают^по-парно с
какими-либо четными точками, то положительные и отрицательные набеги фаз
компенсируются и F обращается в нуль. Поэтому становится очевидным, что
при (х/к)''г основной
вклад в </п> будут давать те области, где происходит такая компенсация.
Нетрудно подсчитать, что число таких областей равно п\. Тогда, заменяя
(3.21) на умноженный на п! интеграл лишь по одной из этих областей Ах, в
которой
I Vx - Vi | ~ \v3 - Vi I ~ . . . ~ I Van-1 - v2n I < рЛ,
получим
2 n
</П>~и! [-Щ-Т S dvi...dvnexv {^?(-1)^-^}.
Л, 3=1
(3.23
Убывание подынтегрального выражения по каждой из переменных vx - v2, v3 -
Vi и т. д. обеспечивается соответствующим слагаемым из (3.22):
-^-к2кх [D (v! - v2) + D (v2 - Wi)], р- №Ьх [D (v3 - Vt) + D (Vi - i73)I
и т. д. Эти слагаемые следует оставить в показателе экспоненты, а
экспоненту от остальных слагаемых, как и в рассмотренном выше случае п =
2, следует разложить в ряд:
2 п
</п> = п! (isr)2" S dVl ¦ ¦ ¦ dVinQXV {г¦-WZ(~ 1>m_1 -
At m=l
n
----ДX^ D (Vim-! - Vam)} X
Ш-1
2n' л 2n'
X {l + ?,*(- 1 )S+lD (Vj - Vl) + • - •} . (3.24)
:=1 1=1
Штрихи у знаков сумм означают, что из них выброшены члены, вошедшие в
экспоненту. В формуле (3.24) интегрирование можно распространить на все
пространство, так как вне области Ах подынтегральная функция пренебрежимо
мала. С учетом этого многократный интеграл в (3.24) можно вычислить точно
и получить для </"> формулу
; {</п> = "I [1 + п (п _ 1)ф2 - 1)/4] + . . ., (3.25)
в которой р2 определяется выражением (3.18). Обсуждение полученной
формулы мы проведем несколько позднее, после того как
300
рассмотрим распространение волн в случайно-неоднородной среде, лоскольку
получающиеся в обоих случаях результаты аналогичны.
3.2. Случайно-неоднородная среда. Здесь мы рассмотрим асимптотику
высших моментов ноля Г2п, распространяющегося в случайно-неоднородной
среде. Формальное решение этой задачи дается выражениями (3.4), (3.5). От
рассмотренных выше формул для фазового экрана они отличаются лишь заменой
обычного интегрирования на континуальное. Рассмотрим сначала величину </
(х, р') / (х, р")>, которая получается из Г4 при попарном слиянии точек
наблюдения pj = р2 = р', р3 = р4 = р". Для плоской волны (Г^ = 1),
используя (3.5) и вводя новые переменные, получим (р = р' - р")
</'/"> = ехр {^d6-gJL-}exp{-----------ki~\dx'[2D (р + jjd&n) +
О 0 зс'
X я X
-f 2D - D (р + ^E(n + r2fj - D (p + ^dliVi - r3fj |
sc' x' x' r<X- (r)
(3.26)
Формулу (3.26) можно записать и в виде, вытекающем из (3.4), однако мы
будем использовать операторную форму записи. Обозначим
X X
Bt = p + ^dlviil), В2 = dlr2{l).
X' x'
Стоящий в экспоненте функционал
X
ЧГ = -J- J dx' [2D (Rj) + 2D (В2) - D (J?x В2) - D(BX - В2)]
