Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 122

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 135 >> Следующая

(8.1.33)), так и фазу (формула (8.1.38)). Поэтому основной задачей в
геометрооптическом приближении является задача о диффузии лучей в
случайно-неоднородной среде, решению которой посвящено большое количество
работ (см., например, [116, 149-152]). Ниже мы будем следовать работе
[15].
§ 1. Диффузия лучей в случайно-неоднородных средах
Обычно в качестве переменной, описывающей поведение лучей,
используется длина луча I. Принимая I за независимую переменную, можно
записать уравнения лучей в форме
l1'-1 ^ а-D
(i = 1, 2, 3; | т | = 1),
где (.1 = 1н п, п - показатель преломления. Такая запись уравнения лучей
используется, например, в книгах [153].
Будем считать, что jj, является гауссовским однородным и изотропным
случайным полем со сродним значением, равным пулю.
Если ввести шестпмерттые векторы § = {г, т}, v = (т, 0} и
/ = {0, а}, где 6Ц= (дц; - TjTfr)^1^-, то систему уравнений (1.1)
можно записать в виде, аналогичном системе (3.1.1), - условия а), б)
выполнены, а что касается перехода к аппроксимации корреляционной функции
для / при помощи 6-функции (формула (3.1.4), то здесь мы сталкиваемся с
непреодолимым затруднением. Дело в том, что at = at (г, т) = яг (§) не
зависит от I (которое в данном случае играет роль времени). Формально
можно считать, что функция Вш{I, I\ I, I') (не зависящая в данном случае
от I, I ) имеет по переменной (I - Г) бесконечный интервал корреляции,
309
ибо при сколь угодно больших (I - /'), но фиксированных эта функция не
убывает. Таким образом, записать УЭФ, соответствующее динамической
системе (1.1), по удастся.
Можно, однако, записать уравнения лучей, взяв за независимую
переменную координату z. Если уравнение луча искать в форме IIL = М± (z),
где -Вх = {х, у} - поперечное смещение, то вместо (1.1) будем иметь
динамическую систему
d г> / ч г±^ d .. a±(B±,xy,z)
ТГ^(г) = 7Г^Г. ТГ'М- ¦ (1-2)
гдетх = {тх, Ту}, а± = {аь а2}. Заметим, однако, что в этой форме
уравнение лучей можно использовать лишь до первой точки поворота, где
обращается в нуль знаменатель Vi - х\. Отсюда вытекает, что в
статистической задаче уравнения (1.2) можно использовать лишь в области,
где мала вероятность отрицательных т., т. е. в области малых угловых
отклонений луча (тг ~ 1). В этом случае вместо (1.2) мы можем написать
приближенную систему уравнений для лучей в малоугловом приближении [15]:
-L- RL(z) = x±(z), -^-T1(z) = V_Lp,(BJL, z). (1.3)
Уравнения для лучей (1.3) совпадают с уравнением (8.1.39), описывающим
распространение волны в малоугловом приближении в приближении
геометрической оптики, если учесть, что п2 - 1 + е. Для системы (1.3)
независимая переменная z уже входит в число аргументов /, и поэтому здесь
можно перейти к приближению диффузионного случайного процесса.
Соответствующее УЭФ принимает вид (координата z играет роль времени)
6P1^L)_ JPI_=D(tm)2_ 1Л)
dz -- 6R , qx2± '
где D - коэффициент диффузии, который возникает при вычислении Fn и для
модели статистически однородных и изотропных флуктуаций |1 равен
D - п2 § dx к3Ф (%)
(1.[
(Ф (х) - трехмерная спектральная плотность корреляционной функции (i).
Уравнение (1.4) легко решается, и его решение, соответствующее
начальному условию
Р0(Л1,т1)=в(В1)в(т1), (1.6)
имеет вид гауссовского распределения с моментами
(R±i(z)R±k(z)} = ^Dbi,zs, <R±i(z)x±k(z))=:Ddikz'!, (1.7)
<T±i (z)x±k(z)y - 2D6ikz.
310
На основе уравнений (1.3) легко получить и продольную корреляционную
функцию смещений луча. Умножим (1.3) на_Вх (z'), где z < z, и усредним. В
результате получим
-±- < В, (г) В^ (/)> = <т_, (z) В± (z')>,
d (1-8)
- <т± (z) К± (Z )> = (В± (з ) (B_L, г)>.
Так как приближению диффузионного случайного процесса соответствует
модель дельта-коррелированных по z неоднородностей, то Вх (z') не
коррелировано с "последующими" значениями VxM- (-(r)±i z)> т- е- (-K.L
(-R±_ (z)i z> = О при z < z. Отсюда
следует, что
<т L (z) l?j_ (z')> = <т± (z') (z')> = 2Dz'\
Подставляя это значение в первое из уравнений (1.8) и решая его при
начальном условии (В± (z) /"* (z'))z=z' получаем
<B_l(z)B±(z'))^2Dz'^z-~z') , (1.9)
<jR I (z) В (z')> , Q v I j_z' 1
~=4==A==^='i+4^ (i+ЕИ2, д=-ц-L.
)/ <R\ (z)> <Д.^ (z')> ' m111
Рассмотрим теперь задачу о совместной диффузии двух лучей. В этом
случае мы имеем динамическую систему восьмого порядка
(i - 1, 2 - номера лучен) и приходим к УЭФ, описывающему относительную
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed