Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
регулярной составляющей поля е (х, р), следуя работе [140].
§ 3. Флуктуации интенсивности плоской волны
Рассмотрим статистический момент поля и (х, р)
(#) Pt" • • •"Pin) - U Е
и*(х,р2ъ)У. (3.1)
293
В приближении диффузионного случайного процесса функция Г2п
удовлетворяет уравнению (8.2.5) при п - т, которое в переменных ph-
записывается в виде
2" ЧП
^^2л i / л J+i д р | fc" / i \j+ii
i=i ц, j=i
с начальным условием Г2п (0, рь . . ., р2п) = 1.
Функция D (р) в (3.2), согласно § 2 гл. 8 описывается формулой
D (р) = А (0) - А (р) = 2л J dx Фе (х) (1 - cos хр), (3.3)
где Фе (х) - трехме рный спектр поля е (г) от двумерного вектора х.
Используя запись поля и (х, р) в виде континуального интеграла
(1.9), проводя усреднение по полю е (х, р), получаем выражение для Г8Я в
виде
Т2П(Х, {р;}) =
^ Dvi. (I) ... Dvin (I) ехр | i ~ l^dl
(- 1 j>+1v) Ц) ~
o 3=1
2n x x
(- l)]U+1 U dl D ^p; - Рг + dx'\Vj ix') - Vi (z')])J .
(3.4)
Формулу (3.4) можно также получить, решая уравнение (3.2) методом,
описанным в первом параграфе. Формулу (3.4) можно записать в операторной
форме, которая иногда более удобна для проведения конкретных вычислений:
2м. ^
г2п {х, {р,}) = П ехр {- (- iy+1 jj dl } X
1=1 о 1 у
2 п х X
Xехр |-Yj( - l)J+j+1 ^1° (pi - Pl + jj dx'lxj(x') - т;(^)])}г ==о' Л i=
l о s 1
(3.5)
Если теперь совместить точки p2;,-i = p2s, то функция Г2п перейдет в
функцию (I (х, pj)/ (х, р3)У ... I (х, p2n-i)), описывающую
корреляционные характеристики интенсивности волны. Если же теперь
положить все рг = р, то функция Г2п (х, р) = (1п (х, р)> будет описывать
ге-ый момент интенсивности волны.
Прежде чем исследовать асимптотику функций Г2п для случая
флуктуирующих параметров, рассмотрим более простую задачу
о флуктуациях поля за случайным фазовым экраном. Аналогия между этими
задачами уже отмечалась в работе [104]. Однако при использовании
континуальной записи решений для Г2п эта анало-
294
гия, по существу, переходит в единый для обеих задач метод получения
асимптотики решений в области сильных флуктуаций.
3.1. Случайный фазовый экран. Пусть имеется слой неоднородной
среды, толщина Ах которого настолько мала, что волна при прохождении
через слой приобретает только случайный набег фазы
и не меняет амплитуды. Будем считать, что е (?, р) - гауссовское, дельта-
коррелированное по х поле, описываемое формулой (8.2.4). После
прохождения неоднородного слоя волна распространяется в однородной среде,
и ее распространение описывается уравнением, которое получается из
(8.1.2) при 8 = 0. Решение этой задачи дается формулами
аналогичными приведенным выше формулам (1.8), (1.9).
Рассмотрим функцию Г2п(ж, {р}). Подставляя (3.7) в (3.1) и усредняя,
легко получаем формулу
Эта формула является аналогом (3.4). Рассмотрим подробнее случай п =
2 при попарно совмещенных точках наблюдения Pi = Рг = р'> Рз = р4 = р">
Р' - Р" = Р- Тогда
- ковариация интенсивностей I = | и |2. Если в (3.8) (при п = 2) ввести
новые переменные интегрирования
то интегрирование по г и г3 можно выполнить и получить в результате
формулу
</(ж, р')/(ж, р")> =
=(db)a Sdri dr2 ехр{^ 4"n (г2 ~р)Г2)} ' <з-9)
где F (гг, г2) определяется из (8.2.13'). Интеграл (3.9) подробно
исследовался (в том числе и численными методами) во многих
(3.6)
о
(3.7)
2 nix
к
jj dv ехр ji v2 -f- iS (р + и)|, (3.7')
_ ^ l)j+l+1[) (р. _р1 + щ_
h l=l
Г4 (x, p', p', p", p") = </ (x, p') I
(a-, p")>
Vi - = ru v1 - vi = r2, Vi - v9
= r3, -1 t-- = r,
295
работах (см. обзор [104]). Рассмотрим его асимптотику при х -*¦ оо.
Сомножитель ехр {-к2 Ах F (ги г2)!4} = Д (ги г2) обращается в единицу
при = 0 и при г2 = 0. Уравнение
к2Ах F (гц т-2) = 1 (3.10)
определяет границу области, вне которой /1 (r±, г2) экспоненциально мало.
Так как F состоит из линейной комбинации функций D,
а уравнение -k2AxD (р*) = 1 (см. (8.2.20)) определяет радиус
когерентности поля, то ясно, что одним из характерных размеров этой
области также будет р^.
На рис. 19 приведены кривые (3.10) для функции D (г) - = рС\гь1=,
