Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
диффузию лучей:
Рг (р, I) = <6 (B L1 - Н , - р) б (тл 1 - т±г - I)},
.PPz . L I <)Pz /) , (о) Г>2 Рг (111)
az 1 r^p Uu-A9) ,ilarjl3 ' \ ' I
где
Daз (p) = 2.it ^ dx\1 - cos ир] иахрФ (x).
Если Z0 - радиус корреляции для градиентов показателя преломления, то при
р^> 10 Da3= 21>бар. Это соотношение означает, что при больших по
сравнению с 10 начальных расстояниях между лучами их относительная
диффузия происходит с удвоенным коэффициентом диффузии, что соответствует
независимой диффузии каждого луча. Совместное распределение вероятностей
в этом случае можно считать гауссовским. В общем же случае уравнение
(1.11) решить не удается. Ясно лишь, что при переменном коэф-
фициепте диффузии решение его не является гауссовским распределением.
Случай () 10 допускает более полный анализ. Разлагая
в (1.11) функцию 1 -cos хр в ряд, получаем
. РИ,3 (Р) - 'Ipipj а'х (х).
Ясно, что в статистически изотропном случае
\ (1яК^КкХз(I) (х) = В (bijba? -f 6ia6;3 -f
Свертывая это равенство по парам индексов г, / и а, (3, найдем, что
CV
В = " ^ dx х3Ф (х)
О
II
/Л*? (р) = Я# ((>а8еф --'г 2рар,5)- (1-12)
Заметим, что величина В определяет в приближении геометрической оптики
амплитудные флуктуации (см. следующий параграф). Это не является
неожиданным, ибо амплитудные флуктуации связаны с изменениями сечения
лучевой трубки, т. е. с относительными смещениями лучей.
Коэффициенты диффузии Паз можно использовать в форме
(1.12) лишь в том случае, когда средний квадрат расстояния между лучами
мал по сравнению с /0-
Если уравнение (1.11) с коэффициентами (1.12), т. е. уравнение
^ + /.-g- = я* (Л + 2рйЫ (1.13)
умножить па 1г и проинтегрировать по всем р, I. то после интегрирования
по частям получим уравнение
-jr (г)) - 8лЬ' <р2 (z)>. (1.14)
Умножая уравнение (1.13) сначала па р2, а затем на р!, получим таким же
образом еще пару уравнений:
4-чР2(з)> = 2<рА, -^(р(;)1(ф = 'ГЧЖ)). (1.14')
Уравнения (1.14), (1.14') образуют замкнутую систему, которую легко
решить. Из решения этой системы следует, что если существует такой
интервал значений z, на котором az 1 (а - = (16я 5)1'3), по все еще ро
ехр [az] ¦ 1% (он всегда существует
для достаточно малых р" - начальных расстояний между лучами), то в этой
области происходит экспоненциальный рост <р2>, <рiy,
312
<7а>. Заметила что начало этой области экспоненциального роста,
определяемое условием az I, совпадает с началом области сильных
флуктуаций интенсивности, так как аз ~ of3 - = <flu I/ /"Н->'
Выше мы рассматривали задачи о диффузии одного и двух лучей.
Аналогичным образом можно рассмотреть и задачу о диффузии любого
конечного числа лучей. Отметим, что в этом случае имеется специфический
статистический интеграл движения.
Рассмотрим задачу о диффузии N лучей. Динамическая система
описывается уравнениями
--^(S),
dx . ¦ (z) ,•
-=j-_---= VxiM- (J2j.il 2) = i\ dx W (", 2) {inB±i (z)},
i = i,... , N (1.10 )
(ц (p, z) = j dx ц (x, z) exp {ixp}), с начальными
условиями
В±1(0) = В°Х1, Txi(0) = 0.
Поле р (х, z), как и ранее, предполагается гауссовским однородным
случайным полем, дельта-коррелированным вдоль оси з, т. е. корреляционная
функция поля р (и, z) имеет вид
<р (х, Z) ц, (х, z')> = 26 (X + х) б (з - z') Ф (к),
где, как и ранее, Ф (х) - трехмерная спектральная плотность
корреляционной функции р (г).
Рассмотрим векторы, направленные вдоль оси з:
4ik(z) = [B±i(z) X (z)], Bik(z.) - [Tj_i(z) X BLk(z)],
<7is(s) = lTxi(") X t.u(z)1 (i, &=l"...,iV).
С помощью системы уравнений (1.10') для этих величин получаем;
- (s) =¦ (z) - Bki (z),
/>•;,, (z) --- (1]k (¦:) | - г dxa (x, z) exp {ixR,, {(z)} [x X В ,
t- (z)l, (1.15)
V№ (z) = i^dx и (x, z) {exp {ixB±i (z)J [x X r±k (z)] -I,-
+ exp {ixB±k (z)} [TLi (z) x x]}-
Усредним эту систему уравнений. Для расщепления корреляций воспользуемся
формулой (2.8.6'), которая в рассматриваемом случае принимает вид
<р (х, z) Я Цф - Ф (х) 2)> •
313
Учитывая, далее, соотношения ЬП .(;) Лт,;(с')
: л" " Ы ехР
(- х, z) ' 611 (- >с,
вытекающие из характера динамической системы (1.10 ), усредненную систему
уравнений (1.15) можно переписать в виде
~?Г<.Ла (z)> = \Bjl; (z)> - (Bki(z)\,
(1.15')
±(Bi,(z)y = (Ci!i(z)), JL/<7№(z)>=0.
