Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Использование записи статистических моментов поля в виде
континуального интеграла позволяет исследовать применимость так
называемого метода Гюйгенса - Кирхгофа, который в настоящее время
используется в ряде работ как для численных оценок [144], так и для
получения аналитических выражений [145].
Метод Гюйгенса - Кирхгофа, предложенный в работе [146], основывается
па записи решения задачи (8.1.2) в виде (8.1.7):
и (х, р) = ( dp'G (х, р; 0, р') и0 (р'),
где и0 (р') - распределение поля в начальной плоскости х = О, G -
стохастическая функция Грина для уравнения (8.1.2). Функция Грина в
случае отсутствия флуктуаций s (х, р) имеет вид
^ I , , ,, к f ifc(р - р')2 1 / ^ /v
G |е=0 = g (х, р; ж , р ) - 2я/ ехР {- 2'(зГ- х*) } (х > х )¦
Приближение, использованное в [146], состоит в том, что функцию Грина в
случайно-неоднородной среде записывают в виде (8.1.10):
G {х, р; р') --= ехр Jr ^ (*- Р5 *'> Р'>} '
где функция (х, р; х\ р') - набег комплексной фазы сферической волны,
распространяющейся из точки (х', р') в точку (х, р), в первом приближении
по е определяемый по формуле (8.1.11). Для случайно-неоднородных сред
статистические характеристики Т1 изучались в работе [147]. Отметим, что в
настоящее время это приближение не обосновано.
В работе [144] метод Гюйгенса - Кирхгофа был использован для изучения
статистических характеристик волновых пучков в турбулентной среде. При
этом для величины Г4, описываемой в случае плоской волны уравнением
(8.2.13''), он приводит к выражению
Г4 (?, -Ti. Г2) - (-2" I* J <Zpi ехр (/• - р,) (гг - р:) -
-Т^^(р,(1~4) + ^-Г- + <3-46>
0
где F №; -в*) определяется формулой (8.2.13').
307
Приближение (3.46) не применимо в области слабых флуктуаций, где оно
дает ошибку того же порядка величины, что и основной член. С другой
стороны, как было видно из предыдущего раздела, приближение (3.46) в
области сильных флуктуаций дает качественно верный результат, но с
ошибкой порядка основного члена. Приближение (3.46) могло бы оказаться
полезным для промежуточной области |3(^ яг I, где не справедливы ни
теория возмущений, ни асимптотические решения. Однако так как и при 1, и
при (?5 1 приближение (3.4(5) дает не малую ошибку,
то пот оснований считать, что в области р" - 1 точность его будет
удовлетворительной, хотя, по леей видимости. :по приближение даст
правильную качественную картину.
I> заключение отметим, что представление поля и (х, р) в виде
континуального интеграла позволяет исследовать и вопрос о пределах
применимости диффузионного марковского приближения для флуктуаций
интенсивности [148]. Результат оказывается следующим. Все условия
применимости марковского приближения для вычисления величины </">
совпадают с условиями применимости марковского приближения для величины
</2>. Иначе говоря, марковское приближение не изменяет вида распределения
вероятностей для интенсивности.
Для турбулентных пульсаций температуры в области слабых флуктуаций
марковское приближение справедливо при выполнении неравенств
к < (Яж)'/. < ж, (3.47)
где А, - 2л!к - длина волны.
В области же сильных флуктуаций условием применимости марковского
приближения является условие
А. р/,- /'о х, (3.48)
где рк и /•" определяются формулами (8.2.20) и (3.13). Неравенства
(3.47), (3.48) имеют простой физический смысл. Пока в задаче
о распространении волны в среде со случайными неоднородностями
наименьшим из всех продольных масштабов является радиус корреляции е (его
роль для турбулентных пульсаций температуры играет размер зоны Френеля),
справедливо марковское приближение. При движении в область сильных
флуктуаций появляется продольный масштаб р;,- (/сж)'2, который постепенно
уменьшается, так что при достаточно большом значении параметра Ро он
может стать меньше радиуса корреляции 8. При возникновении такой ситуации
уже нельзя пользоваться марковским приближением.
Неравенства (3.47), (3.48) можно рассматривать и как ограничения
снизу и сверху на величину масштаба функции корреляции интенсивности. При
этом марковское приближение справедливо лишь в том случае, когда любые
масштабы, возникающие в задаче, остаются малыми по сравнению с длиной
трассы.
Г л а в а 10
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ (ПРИБЛИЖЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ)
Рассмотрим теперь статистическое описание полны в случайно-
неоднородных средах в приближении геометрической оптики (акустики).
Исходными уравнениями являются уравнения для интенсивности (8.1.24), фазы
волны (8.1.36) и уравнение для лучей
(8.1.39). Зная решение уравнения (8.1.39) - траекторию луча, можно,
непосредственно интегрируя, определить как интенсивность волны (формула
