Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Усредним теперь (2.4) по ансамблю реализаций поля е, предполагая, как и
ранее, гауссовость и дельта-коррелированность е. В результате получаем
равенство
Легко видеть, что формулу (2.5) можно записать в виде
где функция^ описывается формулой (1.13). Формула (2.6) упрощается для
плоской падающей волны, для котоюой ип (и) = б (и), и принимает вид
Формулы (2.6), (2.7) связывают поле отраженной волны в плоскости (0, р) с
полем на отражающей плоскости (L, р).
Выше мы рассматривали случай отсутствия регулярной ccv-ставляющей у
поля е (х, р). Если имеется <е (х, р)> Ф 0, то формально формулы (1.8),
(1.12), (1.13) дают операторное выражение для решения задачи и в этом
случае. Однако такая форма записр неудобна, так как она базируется на
учете дифракции волны в свободном пространстве, а не в пространстве с
регулярными неоднородностями. Рассмотрим случай параболического дрофиля
L
L
X ехр {- J dl [ А (0) + А (р - j dr] (т/+ т2):+ (L - ?)) ]}^
о I
1 )
Ч :
(2.S
<ыотр (0, р)) = ^ dp V (р) ^ dy. м0 (и) ехр ji* (р - р) - t х
X (L, р, к) i|) (L, р + р, - и)>,
(2.6)
^отр (0, р)) •-(^пад (^) Р)^отр(^) Р)/!
(2.7)
где
(.L, р) = J dp V (р) ыпад (L, р -
р).
регулярной составляющей поля е (х, р), т. е. уравнение
да + Р)и, (2.8)
дх 2/с 2
и (0, р) = и0 (р).
Как отмечалось в предыдущей главе, решение уравнения (2.8) можно
представить в виде (8.2.35), т. е. в виде
и(х' Р) = cosax ' ехр{- i-4~P2tga^H(x, р), (2.9)
где функция й (х, р) удовлетворяет уравнению
-Jj- = -f a tg a^pVp" + i -¦ ё (x, p) и, (2.10)
и (О, р) - и0 (р).
Далее стандартным путем получаем операторное выражение
X
й (х, р) = ехр jj dl -g^y-} й [х, р, т] |т=э,
О
где й удовлетворяет уравнению первого порядка по р:
= [ap tg аж + x(x)\V рй + i-j-l(x,p)u, (2.11)
" (°> Р) = ио (р).
Уравнение (2.11) легко решается методом характеристик, и в результате
получаем запись решения уравнения (2.8) в операторном виде:
u (*¦ Р) = cosWexP {- *1ГP2tg+ IF f dl 6^Ы Х
0
х u°fe^Tp+ Sd?S^r) х
о
X ехр [i -L J dl г [I, Р Sg- + | *1 ^ т (т,))}^. (2.12)
о 5
Представляя поле и0 (р) в виде
и0
(р) = ^ dxu0(iс) ехр {ixp}
и используя вероятностную аналогию (переходя к соответствующему
континуальному интегрированию), получаем окончательное выражение [130]:
и (х, р) =-------- \ dx и0 (х) ехр j - i p2tg ах -\-----------------
' r/ cos axj и \ 2ГЬ cos ax
• 'I'(*•**•
**)" (2*43)
292
где
1|)(ж, р, х) =
= ехР {ik Й w} ехр {*1Г fdHE' Р -
о о
&•
х sina(:r-?) . С , cosa? _/
л] /ъл/\ -~Ы cos аж +Г^ТИЦ' <2Л4^
1
Выражение (2.13) представляет разложение решения задачи по плоским
волнам. При этом множитель при функции в (2.13) описывает дифракцию
плоской волны в среде с параболическим профилем <е), а функция ^учитывает
влияние случайных неоднородностей на такую дифрагированную волну. При а -
> 0 формулы
(2.12)-(2.14), естественно, переходят в формулы (1.8), (1.12),
(1.13).
Для нахождения средних характеристик волнового поли и (х, р) можно,
как и ранее, считать поле е (х, р) гауссовским дельта-коррелированным
случайным полем, и задача сводится к нахождению статистических
характеристик функции г|). Так, для получаем
<ajj (х, р, х)> = ехр {-А (0) я} ,
а
я
<Ф (*, Pi, *1) ф* (*, PI. **)> = ехр J dl - ^]} X
X х
Г к2 С j*. г* /cosaE х sin a (х - Е) . С , cosa?, - Ч\1 X ехр |-т
yi D (^р- ш ¦ + У т2))} =
о 1
= ехр{-[d^D ('^IgiLp -JL sin "(ж ^, (2.14')
4 J s I,cos аж ^ ka cos a!; /J о
где p = pi - p2, x = Xi - x2. Формулы (2.14') позволяют получить
выражения для функций <w) ц Г (х, р, Б), которые, естественно, совпадают
с формулами (8.2.32), (8.2.43).
Перейдем теперь к выяснению асимптотического поведения флуктуаций
интенсивности плоской волны в области сильных флуктуаций в среде без
