Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 113

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 135 >> Следующая

случайных полей, верны и в Этом случае. В частности, будет справедлива и
формула (2.3.8).
Представляя (1.11) в виде
и (х, Р) = ^ dx н0 (х) ехр {/хр} X
X XX
X <^ехр \гх Ц dl V Ц) + i dl е р 4- v (Л)) j)>" -
О 0 ?
где и0 (х) = тЛг ^ dp'u0 (р') схр {- гхр'}, можчо выполнить усред-пение
по формуле (2.3.8) и получить выражение
и (х, р) - Ц dx и0 (х) ехр jixp-1~ гр (х, р, х), (1-12)
•ф (х, р, х) = </ ехр |i § dl е р + ^ dr] ь{ц)---j}^ .
о I
Возвращаясь к операторному виду, выражение для я|з (х, р, х) можно
записать в форме
¦ф (х, р, х) =
= ехр Ук S ехР {* Т S ? ^ Р + 1(1,] [т 1<П) - t])Lo • '
о о ' Е,
(1.13)
Представление (1.13) является решением дифференциального уравнения
°± = Jj-AA$ + i-!L^-JLvxy, я|з (0, р, х) = 1. (1.14)
Выражения (1.12)-(1.14) представляют разложение задачи по плоским
волнам. Выражение (1.12) и уравнение (1.14) для величины я|) можно
получить, разумеется, и непосредственно из уравнения (1.1).
Выражение, стоящее в правой части (1.12) под знаком интеграла,
описывает дифракцию плоской волны за счет неоднородно-
стей поля е; при этом множитель и0 (х) ехр {ixp - i-^x} описывает
дифракцию в свободном пространстве в отсутствие е, а множитель я);
учитывает влияние неоднородностей на такую дифрагированную волну.
286
Решение исходного уравнения (1.1) в форме (1.8), (1.9) можно получить
и непосредственно, используя вероятностную интерпретацию для решения.
Рассмотрим уравнение
дЧ>(дх Р)Р)ф(ж> р) + v(x)V±q)(x, р), (1.15)
ф (0, р) = м0(р),
где v (х) - "гауссовское" случайное поле с тензором "корреляций"
<Уа(Ы"э(Ы> = 4-в"?в^1-^) (а, Р = 1, 2).
Решение уравнения (1.15) является функционалом поля v (?), т. е. ф = ф
[х, р; v (?)]. Усредним уравнение (1.15) по V, а для расщепления
корреляции (v (x)Vj/p (х, р)> воспользуемся форму-
лой (2.3.6'). Тогда получим уравнение
(ф>и = ^ -у- Е <ф)" + Ах (ф>и, (1-16)
<ф [0, р; v]>" = и0(р)-
Сравнивая (1.16) с (1.1), видим, что
и (х, р) = <ф [х, р; V (Е)]>у* (1-17)
А учитывая, что решение уравнения (1.15) имеет вид
ф [х, р; "(?)] =
X XX
= и0(р f dlviD'j ехр {г^ dg е (?, р + dr]v(ri)jj ,
о о \
мы вновь приходим к выражению (1.9).
Для перехода от (1.17) к форме (1.8) перепишем (1.17) в виде
и (х, р) = <ф [х, р; v (I) + т (?)]>" |t==0 =
X
= <(ехр ^"(5)-щ|у}^>вф[а:, р; т(Е)Цт=0, (1-18)
О
где т (х) - произвольная детерминированная вектор-функция. В формуле
(1.18) можно выполнить усреднение, и в результате получаем
Я
и (х, р) = ехр ^ dl Ф [х, р; т
(?)]т=0,
О
что, естественно, совпадает с выражением (1.8).
287
В заключение приведем выражения для функции Грина уравнения (1.1),
описывающей поле сферической волны:
G (х, р; х', р) = ехр j dl [в (р -р' Ч-
Я'
X XX
Jr § dl т (?)) ехр |г р + ^ d-ц т (г|)
х' х' S,
я а:
G(x, р; х\ р')= ^ Dv8 (р - р' + Ц dlv(l)j ехр |г-|- ^ dl х
ОС' Xf
X
vHl) + е р + ^ dr] и (11))
(1.19)
х
Dv= Д dv (^) {S - ¦ * $ II dviDexv^^dlvm)}}'1. (1.20)
|=ос' ?=ос' х'
Комплексно сопряженные формулы описывают функцию Грина для сферической
волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х.
Отметим, что можно записать в виде континуального интеграла и решение
линейного дифференциального уравнения общего вида:
-^- + F(x, V)u^=0,
которое, однако, в отличие от рассмотренного уравнения, будет содержать
двУкоатный континуальный интеграл [136].
§ 2. Статистическое описание волнового поля
Перейдем теперь к статистическому описанию распространения волны в
случайво-чеоднородной среде. Как и в предыдущей главе, будем считать, что
флуктуации поля е (х, р) являются гауссовским однородным, дельта-
коррелировапным по оси х, случайным полем с корреляционной функцией
<8 (хг, рх)е (ж2, р2)> = б {ху - х2)А (рг - р2), (2.1)
где А (р) = 2п I dv. Фе, (x)eixp, а Фе (х) - трехмерная спектральная
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed