Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
142].
Рассмотрим теперь высшие моменты </")>=: Г2И (х, 0). Из формулы (3.4)
ясно, что при ру = 0 основной вклад в интеграл дают те траектории, для
которых обращается в нуль функционал
2 П XX
-?-?,( - iy^dx'D (jj dx" [V] (х") - Vl {x")\). j, 1=1 0
*'
Мы можем поступать здесь по аналогии с фазовым экраном. Выделяя одну из
п\ существенных областей интегрирования и остаг-ляя в показателе
экспоненты из (3.5) лишь слагаемые вида
X
D d|(T2j+i - T2j)J ,
X'
обеспечивающие быстрое убывание подынтегрального функцис-
304
нала, получим
п X
':< ехР { - "Т Xj ^dx'D (J) [т-2i (I) - т.,;
(?)])} х
j=l О X'
•2 я ' х х
х I1 ~Jr ?| ( (j №(?) -т,(?)])
4- • • •}
Л i=i
тя=0
(3.39)
Штрих у знака суммы означает, что в ней пропущены слагаемые, оставленные
в экспоненте. Введем новые переменные
Tj; I - то j - Vj, т,!- т-2 j = 2JSj.
Тогда
fi2 ,v - = 2 й
2/-г v
В этих переменных первое слагаемое в (3.39) имеет следующий вид:
П X
dt t! '
bvfiRt
.7-1 О
it л. x
X ехр {- ^Yj\dx'D (S d^(?) )}г=я=0 = /г!- (3-4°)
.7=1 О X'
Если во втором слагаемом пз (3.39) использовать спектральное разложение
(3.3) функций 1) в предэкспонеициальном множителе, то после несложных
преобразований это слагаемое запишется в виде
п х ИХ
j, = _ Yj Sdx' \ d* ф" (*) ехР {- Vj $d- ЩЩ-} X
I, (I ;;=1 0
Л" x
X sin ^ dE rs (t.) j sin j^-|- (E)] X
x' x'
n X X
X exp {-----^ ^ dx"D d| ?"j (1)) 4-
0 x"
ОС
-ь ^иЕ'0(Г-ж')[-К8(Г)~-Кг(Г)]} •
(3.41)
v J JJ=r==o
305
Вычисляя действие операторов, в итоге получаем
П X
J2 - - п\пк2 ^ dx' jj dx,ФЕ (х) X
I, о
X sin
А А,
-ж')(бг>8 -1) sin J?-^dlQ(l - x')( 1-
6,,s)
X
и л. X
х ехр |-------^ ^ dx"D dlQ(l - x')-^-(6s<j - d,,
j))} ,
3=1 о
где 6S>; - символ Кронекера. Суммирование по s, I дает
J2 = n\ п (п - 1) пк2 ^ dx ^ dx Фе (и) sin2 ?(х - х )
X
X ехр
кЧ
D
(х - х)---------у ^ dx"D y-jr (х - х") j
(3.42)
Разлагая sin2 (х - х) j в ряд и сравнивая полученную формулу с (3.34),
имеем
/2 = п\п (п - 1)(Р2 (х) - 1)/4.
С учетом (3.40) получаем, что и в случае распространения волн в
случайно-неоднородной среде имеет место разложение
</"> = п\ [1 + п (п - 1)(Р2 (х) - 1)/4 + ...], (3.43)
совпадающее с (3.25) для фазового экрана; при этом, разумеется, Р2 (х) в
каждом случае определяется различными формулами.
Формула (3.43) дает первые два члена асимитотического разложения (1пу
при р2 -оо. Так как р2 -^ 1 при р2 -оо, второе слагаемое в (3.43) мало по
сравнению с первым при достаточно больших р2. Лишь в том случае, когда
(Р2 (х) - 1) п (п - 1)/4 < 1, (3.44)
выражение (3.43) имеет смысл. Одпако при фиксированном ро всегда
найдутся такие номера га, для которых условие (3.44) будет нарушаться.
Поэтому формула (3.43) справедлива лишь для не слишком больших п. Если не
принимать во внимание ограничение (3.44), то по моментам (3.43) можно
восстановить плотность вероятностей для I
р (/) = 0 (/) ехр (-/) {1 + (Р2 - 1)(1 - 21 + /2/2)/2 +...}.
(3.45)
Из этой формулы следовало бы, что при р2 - 1 -0 плотность вероятностей
для / стремится к экспоненциальной, что соответст-
306
вует гауссовскому распределению для случайного волнового поля'. Однако,
в силу (3.44), это не так, и лишь низшие моменты </"> могут хорошо
описываться распределением (3.45). Следует также отметить, что и выход на
асимптотику (3.43) при р* -"- оо может быть достаточно медленным
(например, для степенной структурной функции D (р) ~ р5 3 существенной
оказывается разница скоростей роста функций р5 3 и р2). Отметим, что
формула (3.43) другим путем была получена в работе [143].
