Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
О
Если же поле е (z, р) отличио от нуля только в тонком слое-Ах <г^ х, то
со
Оо (х) = jj dpрФе (р) 1 - cos ~ X j . (4.3")
о
Этот случай называется случайным фазовым экраном, и волна после
прохождения тонкого слоя флуктуирующей среды распространяется далее в
пустом пространстве.
Если флуктуации е (х, р) вызваны турбулентными пульсациями
температуры, то функция Фе (р) описывается формулой
(2.22) и интегралы (4.3'), (4.3") легко вычисляются. В результате
получаем [30]
о1 = 0,077С1кУ'х111' (Ах = х),
Оц = 0, \^C\k''lexbl'Ax (Ах х).
При этом оказывается, что условием справедливости первого приближения МПВ
для амплитудных флуктуаций является ol (х)<^1. Область флуктуаций
амплитуды, в которой выполняется это неравенство, называется "областью
слабых флуктуаций". В области,
280
где Сто ^ 1 (которая называется "областью сильных флуктуаций"),
необходимо изучать полное уравнение (1.21). На рис. 17 приведена
экспериментальная зависимость дисперсии уровня ампли-
2вя
U
г,г
0,8
М
О
J Q-,0 о 0О|Рл
sir
ж
о/оо
г
ff
го 2в"
Рис. 17. Экспериментальные значения дисперсии % (х, р) в зависимости от
параметра сг0 [99] (штриховая линия соответствует расчету по первому
приближению МПВ).
Р(/И/,)
Рис. 18. Распределение вероятностей для интенсивности света в
турбулентной
среде [99] (линия 1
соответствует а(r)
< 1; 2 - а* > 25).
1+4, 3 - al > 4;
туды ах от параметра а0 при распространении света в турбулентной
атмосфере [99]. Решение, соответствующее первому приближению МПВ,
показано на этом рисунке штриховой прямой. На рис. 18 изображено
распределение вероятностей для уровня
281
амплитуды [99]. Из этого рисунка видно, что в области слабых и очень
сильных флуктуаций распределение вероятностей близко к гауссовскому,
отклонения от которого наблюдаются только в области 0Q ~ 1. Что касается
флуктуаций угла прихода волны в точку наблюдения, связанных с
флуктуациями величины Vj_5, то они хорошо описываются первым приближением
МПВ [132]. При этом для дисперсии угла прихода волны в точку (х, р)
а (х, р)- - V±S (х, р), аналогично выводу формул (4.3') и (4.3"),
л'
получаем выражения
СО
<а2 (х)У = ^ dp р3Фе (р) l'r~^sin~x (Ах = х),
0 (4-5)
со ' '
<а3 (х)> = ^ dp р3ФЕ (р) 1 f cos - х (Ах ^ х).
О
Отметим, что диффузионное приближение для уравнения (1.2) практически
не накладывает ограничения на амплитудные флуктуации и, следовательно,
уравнения для моментов поля и (х, р), полученные выше, справедливы и в
области сильных флуктуаций амплитуды.
Статистические свойства решения уравнения (1.21) также могут быть
описаны в диффузионном приближении. Однако, в силу нелинейности самого
стохастического уравнения, уравнения для моментов функции ср (х, р)
оказываются незамкнутыми. Поэтому для изучения амплитудно-фазовых
флуктуаций надо привлекать какую-либо дополнительную информацию. В
качестве такой информации можно использовать, например, экспериментальные
данные о нормальности одноточечного распределения вероятностей для уровня
амплитуды в области сильных флуктуаций. Для случая плоской падающей волны
уровень амплитуды и интенсивность волны описываются уравнениями (1.22),
(1.24) с условими х (0, р) -- 0, / (0, о) = 1, и решения этих уравнений
будут однородными случайными полями в плоскости х = const.
Усредняя уравнение (1.24), получаем соотношение
</ (х, р)> = 1, (4.6)
выражающее закон сохранения энергии для рассматриваемой задачи. При
нормальном распределении для % (х, р) из (4.6) получаем
</(z, р)> = <ехр {2х}> = ехр {2<х> + 2ст.(r)} = 1,
и, следовательно, среднее значение уров.ня амплитуды (х, р)У и дисперсия
уровня - <(% - (%У)2У связаны соотношением
= -<%>• (4.7)
282
Не представляет труда получить в этом случае формулу
<Х (х, р)/ (х, р)> = а*. (4.8)
Умножая теперь уравнение (1.24) на % (х, р) и усредняя, получаем с учетом
(4.6) и пространственной однородности соотношение
X
(%(х, р)/ (.с, р)> p)VJ.5(5,p)>. (4.9)
О
Левая часть уравнения (4.9) при нормальном распределении вероятностей
для % связана с дисперсией % согласно (4.8), а величина в правой части
(4.9) определяется корреляцией V LI и Vj_S. Если при расчете амплитудных
флуктуаций можно использовать для VXS формулу первого приближения МПВ
(4.2), то правую часть уравнения (4.9) можно вычислить в диффузионном
