Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
<;
277
среднее значение первой вариационнои производной, и мы получаем
уравнение
(2гАА + ^/в!1(?1Р)\_[. г^.4(0)/№4:\ = 0, (3.5;
\ dx op - / \ f е (.г , р )/ 4 ' ' \
бв (г , р )/ ' '
справедливое при х х', с начальным условием (3.3) при х = х'.
Уравнения (3.1) и (3.5) образуют замкнутую систему второго при-ближения.
Аналогичным образом можно получить замкнутую систему уравнений
следующих приближений, а также и системы уравнений для других моментов
поля и.
Решение уравнения (3.5) с условием (3.3) имеет вид
<-ggi?L) = i JL <u х', р')) [ 2яг (g*_ ^ ехр {- X
X ехр |---(0) (х - а:')} • (3.6)
Выражение, заключенное в квадратных скобках, при х - х -> 0 стремится к
б (р -р'). Подставляя (3.6) в уравнение (3.1), получим
?-агМ<"> =
= " т S dx' S [ м U- ,¦) СХР {- Д !;•" Й) х
о
X ехр |---^ А (0) (х - я')} Вг (х - х , р - р') <и (х , р')>- (3.7)
Уравнение (3.7) можно решить преобразованием Лапласа по х и
преобразованием Фурье по р. Мы не будем делать этого, а выясним лишь, при
каких условиях решение уравнения (3.7) переходит в решение уравнения,
соответствующего приближению диффузионного случайного процесса.
Выражение в квадратных скобках в (3.7) представляет собой
"размазанную" на масштаб а = \(х - х')/к]'/г б-функцию по р - р'. В свою
очередь величина (х - х') ограничивается величиной порядка продольного
масштаба неоднородностей I ц за счет множителя Вг (х - х\ р - р'), откуда
получаем, что а ~ (1^/к)Ч'. Если . исштаб а мал по сравнению с Z^-
масштабом функции Вг по (р - р'), т. е. 1±, то выражение в
квадратных
скобках можно заменить на б-функцию. Итак, если /ц <^kl\, то уравнение
(3.7) можно записать в виде
р)> =
X
= - -J- ^ d\ Ве (1,0) <и (х - I, р)> ехр {- А (0) || .
278
Если, кроме того, выполняется условие
т. е. ослабление среднего поля на масштабах порядка 2 ц мало, то можно
пренебречь экспоненциальным множителем и сдвигом аргумента функции <и>. В
результате уравнение принимает вид
= - 4r 0){и(х, р)>.
О
Если, наконец, х^>1ц, то верхний предел интегрирования можно устремить к
бесконечности, и мы приходим к уравнению (2.7'). Таким образом,
приближение диффузионного случайного процесса для среднего поля
справедливо при выполнении следующих трех условий:
11, <: kl\, о\кП\ <: 1, х '^>1 ,| (А (0) ~ oil I,). (3.8)
Аналогичным образом можно получить и исследовать уравнения второго
приближения для функции когерентности Г2 (х, М, р). Условия применимости
приближения диффузионного случайного процесса для Г2 (х, JB, р) имеют вид
(при плоской падающей волне)
рО, кх | V_L^(p) | 1. (3.9)
Важно подчеркнуть, что условия (3.8) и (3.9) практически независимы,
так как накладывают ограничения на различные параметры. В частности,
может оказаться, что условия (3.9) выполня-
Д-2
ются в том случае, когда условие yl ц ^ 1 (7 = А (0)) нарушается. Отметим
также, что условия (3.9) накладывают ограничения только на локальные
характеристики флуктуаций е и поэтому могут быть записаны и для
турбулентной среды, в то время как величина у определяется наиболее
крупномасштабными флуктуациями е.
Относительно условий применимости диффузионного приближения для
флуктуаций интенсивности см. следующую главу.
§ 4. Амплитудно-фазовые флуктуации волны
Рассмотрим теперь статистическое описание амплитудно-фазовых
флуктуаций волны.
Комплексная фаза волны ф = % + iS описывается уравнением (1.21).
Точные решения уравнений (1.21) и (1.2) эквивалентны. В первом
приближении метода плавных возмущений Рытова (МПВ) (см. монографию [30])
в уравнении (1.21) опускается член (У_]_ф)2, т. е. рассматривается
уравнение
-^г + Д_1_Фо + к2е (х, р) = 0 (4-1)
279
с начальным условием ф0 (0, р) = 0 (для плоской падающей волны).
Решение уравнения (4.1) для фурье-компонент по поперечным координатам
дает после разделения действительной и мнимой частей для уровня амплитуды
и фазы следующие формулы:
1°р (?) Ml)sin ~|г - ?),
? , (4,2) s°p(x) =-jT§ dlep(l)cos-j?- (x -
I). о
Решение в этом случае является гауссовским случайным полем, и
статистические свойства амплитудных флуктуаций описываются параметром а2
:= (%* (х, р))>, для которого, согласно формулам (2.21'), (2.21") и
(4.2), имеем
^ = S S dpi dp°- ^7°Pl ^ Х°Р! ^ ехр {i (pl ^ Pi) Р} =
со
= лк^х jj dp ^ |i _ Дж) (4.3)
О
Если поле е (х, р) заполняет все пространство, то Ах = х и
оо
ol(x)= ilAijj (1ррфе(р) 1 - -i_sin-^ ж]. (4.3')
