Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
(2.4), имеем
<8 (ж, р) и (ж, р)> = Л. J dp А (р - р') ,
причем при интегрировании по х учтена четность 8-функции, в результате
чего появился множитель 1/2. Подставляя усредненное равенство (1.6),
получаем
<8 (ж, р) и (ж, р)> = ?-|-4(0)О(ж, р)>, так что уравнение
(2.7) окончательно принимает вид
{2ik +Л^)(х'р)^ +1 т"А (х'р^=0)
совпадающий с уравнением для Mli0, следующим из (2.5).
Полное статистическое описание поля и (ж, р) можно получить из
характеристического функционала
Ф* [v, v*] = <^ехр {г' J яр [и (ж, р) v (р) и* (ж, р) v* (р)]})> •
Выведем уравнение для него, не задаваясь пока статистическим характером
флуктуаций е.
Рассмотрим вспомогательное уравнение для функции
{i ~'w^)w (х'р)= 1 т"[е р^+ ф (х'р^ w р^
с начальным условием w (0, р) = и0 (р). Уравнение (2.2") отличается от
(1.2) введением произвольной детерминированной функции ф (ж, р).
Ясно, что решение уравнения (2.2'") w - функционал от е + ф, т. е. w
= w [е + ф]. Отсюда вытекает равенство
бw(x, р) __ bw(x, р)
бе (х\ р') бф (хр') '
Введем характеристический функционал для w (ж, р):
Т* [v,v*, ф] = <^ехр {г j dp [w (ж, р) v (р) + w* (ж, р) и* (р)]})> •
Интересующий нас характеристический функционал Фж получается из него при
ф = 0, т. е. Фж \v, г;*] = Ч1* у*, 0].
262
Дифференцируя поги используя уравнение (2.2"'), а также комплексно
сопряженное к нему, получим
Используя общую методику, изложенную во второй главе, последний член в
правой части уравнения для Чгх можно переписать в виде
которое проверяется непосредственной подстановкой, можно переписать
уравнение для так:
- логарифм характеристического функционала поля е (|, р).
Важной особенностью уравнения (2.10) является его "однородность" по
v: каждая операция вариационного дифференцирования по v (или v*)
сопровождается умножением на v (или v*). Это позволяет получить из (2.10)
уравнения для моментов поля w (х, р), которые, как и само уравнение
(2.10), являются точными следствиями исходного уравнения (2.2'").
Для дельта-коррелированного случайного поля е (|, р)
здесь введен эрмитов оператор
i±^dpM(p)
<(г (*, р) ехр {J dl jjtfp'e (&, р')
h-? р,. }^>
о
о
Учитывая, далее, равенство
г бф (х', р')
где, как и ранее,
(c)* № (S. Р')1 = In <^ехр h J d\ § dp'e (I, p') (I,
р')Г>
^ n
'
0
263
и, полагая ср = О, получаем для характеристического функционала поля и
(х, р) уравнение вида [114]
Для гауссовского дельта-коррелировапного вдоль оси х случайного поля s
(х, р) с корреляционной функцией вида (2.4)
Уравнение (2.11') является бесконечномерным аналогом УЭФ, в связи с
чем описанное приближение распространения волны в среде с гауссовскими
дельта-коррелированными флуктуациями е можно назвать приближением
диффузионного случайного процесса. Выпишем в явном виде уравнения для
функций
Г4 (х, pi, р2, р^, Р3) = <и (х, pi) и (х, р2) и* (х, р^) и* (х, р2)>,
вытекающие из (2.5) при п = т = I и п = т - 2:
Уравнения (2.5) другим путем получены в монографии [116], а разные
частные случаи их - в [117-121].
Уравнение (2.12) эквивалентно так называемому малоугловому приближению
уравнения переноса излучения [117]. Действительно, подставляя в (2.12)
дх
(2.11)
0* [гр (х, р')] =----------------^ dp dp А (р - р') гр (х, р)
ар (х, р'),
и мы приходим к уравнению [115]
Г2 {х, R, р) = <(и (х, R + -|-р) и* (z, R--------------
|"Р)^> '
а г,
дх
4vBVpra--|-D(p)r2, Я(р) = 4(0)-Л(р), (2.12)
Га (О, R, p) = u0(^R + 4 Р) Uo ~ "F Р) ;
Чг=i [Ai+-А^ -Дг] г* - -г[D (р1 - р^) + D (р2 - м +
+ D (Р! - р2) -f D (р2 - р[) - D (р2 - рi) - D (р2 - р^)] Г4, (2.13)
г4(0, Pi, р2, pr р;> = ""(Pi) Мо (Ра) (р;) и; (р2).
Г2 (х, R, р)= § dnJ (х, R, к) ехр (btp),
264
для функции J можно получить уравнение
ная спектральная плотность корреляционной функции БЁ(х, р).
Уравнение (2.12) для Г2 описывает среднюю интенсивность волны и может
быть решено в общем случае для произвольной функции D и произвольных
начальных условий. Что касается уравнения для Г4, то его аналитического
решения получить не удается, и необходимо прибегать к численным или
приближенным методам. Асимптотика решения для Г4 будет приведена в
следующей главе.
Отметим, что в случае плоской падающей волны, когда начальное условие
к уравнению (2.13) можно взять в виде Г4 (0, (рг}) = 1, уравнение (2.13)
