Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
<и_(0, р)> =
= ^'dp2dpidp0<F(p2, pi)> <G(L,p2; 0, p)G(L, рх; 0, po)>w0(p0). (2.28)
Формула (2.28) особенно просто выглядит для отражающей плоскости с
постоянным коэффициентом отражения (V (р)> = У0$ (р) и для плоской
падающей волны единичной интенсивности:
<М_ (0, р)> = Vo <ul (L, р)>. (2.29)
Отметим, что формула (2.29) была получена впервые в работе [41] с
использованием явной записи функций Грина в виде континуального интеграла
(см. следующую главу).
Выше мы подробно рассмотрели задачу о распространении волн в среде со
случайными неоднородностями в предположении, что отсутствует регулярная
составляющая поля е (х, р), т. е. при условии, что <е (х, р))> = 0. При
наличии же'регулярной составляющей s также легко написать соответствующие
уравнения для моментных функций волнового поля в диффузионном
приближении. Однако нахождение решения их и анализ, естественно,
усложняются. Пусть, например, <е (х,гр))> = е0 (о). Тогда волновое
уравнение (1.2) примет вид
ди (ж, р) ^ _L[+ к1ео (р)] и + i ±_ё (Х] р) щ (2.30)
u(0,*p) = u0 (р),
270
где <е (х, р))> = 0. Для уравнения (2.30) можно воспользоваться
диффузионным приближением. Так, для среднего поля получаем уравнение
где функция и0 (х, р) - решение уравнения (2.30) в случае отсутствия
случайных неоднородностей (т. е. при 5 = 0). Аналогичным образом для
функции когерентности второго порядка получаем уравнение (Г (х, рь р2) =
<и (х, рг) и* (х, р2)>)
которое в переменных рх - р2 = р, Pi + р2 = 2R можно записать в виде
Ясно, что в общем случае решить уравнения (2.31), (2.34) не
представляется возможным. Важным частным случаем уравнения (2.30)
является случай, когда е0 (р) = -а2р2. Такая задача возникает при
волноводном распространении волн. Это могут быть как акустические волны в
природном волноводе (океане), так и радиоволны. В случае отсутствия
флуктуаций г решение уравнения (2.30) можно представить в виде
Уравнения (2.35') легко решаются, и в результате получаем
<и (х, р)> = [Д^ + А-2?0 (р)] (и) - А (0)
<и>, (2.31)
решение которого имеет вид
(и(х, р)> = и0 (х, р) ехр |--------Л (0)ж| ,
(2.32)
Г (х, рь р2) =
= у^ (Д1 - Дг) Г + i -у [е0 (pi) - б0 (ра)] Г----------------yD (pi - р2)
1, (2.33)
дх Г^' р' -К) -
= ^-VpVBT + i±[e0 (JB н- -4-р) - eto (JB-------S-p)] г - ^ (Р) г'
(2.34)
г(0, р, Д) = Г0(р, R) = u0[R + -|~p)uo [R - ~гр) •
"о (х, Р) = / (х, Р) " (х, Р), где функции /, и удовлетворяют уравнениям
(2.35)
¦?-=i 1Д±-"ГРа1/. /(0,р) = 1,
[Д_ь + 2 (Vj_ In /) Vj_] й, й (0, р) = и0 (р).
(2.35')
/(*' Р)=^ехР {-i-f-P8^0*}*
cos ах
(2.36)
271
*де
и0 (р) - ^dxu0 (х) ехр {ixp}.
Отметим, что функция / (х, р) описывает распространение плоской волны и
волновое поле в этом случае является периодиче-
О
ской функцией с периодом Ь=^~. При этом в точках хп =
-(2/? + l^>Y функция / обращается в бесконечность, что соответствует
фокусировке плоской волны. Волновое же поле и0(х, р) в общем случае в
бесконечность не обращается. Рассмотрим в качестве примера волновой пучок
и0 (р) = щ ехр {- р2/2а2}. (2.37)
В этом случае волновое поле
и0(х, р) =----------------------- х
cosax (1+ l^tgax)
Р2
X ехр
iak tg ах
1
a2 cos2 ax (1 + ~"т-~ tg ax
)J
(2.38)
cfika
а формула для интенсивности принимает вид
р Г п2 "!
(х)
где
gl (х) = cos2 ах -f sin2 ах.
(2.3&)
/0 (х, р) = щ (х, р) и* (х, р) = ехр
Уравнение для функции когерентности (2.34) в этом случае также
упрощается:
-?г Г = -j- VpVBr - ia2kpRT -~ D (р) Г. (2.40)
Решение уравнения (2.40) представим в виде
Г (х, р,R) = f(x,R+± р) /* (х, R - ± р) Г (х, р, R), (2.41)
где функция / (х, р) описывается формулой (2.36). Тогда для функции Г
(х, р, R) получаем уравнение
дГ 1 VpVijT -}- a tg ccr [JBVB + PVp] Г-D (p)T, (2.42)
д.X - к 1 1 4
Г (0, p, R) - Г0 (p, JB).
Уравнение (2.42) легко решается путем преобразования Фурье 272
по -К, ив результате получаем выражение [130]
Г (х, р, В) =
= i ехР iak<>B а^} J d(* ^ iq tg "*¦q) x
f ? -w-v Л2 f № n Г cosa? 1 sin а (ж- ?) 11 /п /o\
X eXP {-c^TxqB --A-\d^D P - -Ш cosax......"J}1 (2-43)
0
где Г0(р, B) = \dq Yo (P' O') exp {/O'-К}. Полагая в (2.43) p=0, получаем
выражение для средней интенсивности:
