Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
(2.2) к дифференциальному. Заметим, что для дельта-коррелиро-ванных
флуктуаций е имеет место равенство
? I ?
^expjty jj dr|e(r|,p)|\> = <^exp{i-^[jj dr^Ol-P) + jj drje(r],p) }^> =
о 0 k
I ?
= <^exp|i jj d-ri e (r), p)|\><^exp|i jj йт)е(т), p)|^>, (2.1')
о k
справедливое для любого 0 ^ x. Поэтому, если мы введем
* ,
функцию Фх (р) = <ехр j dx\ г (г|, р)|>, то уравнение (2.2) с уче-
U
том равенства (2.1 ) можно переписать в виде '
Я
<;и (х, р)> = щ (р) Ф* (р) + -^ФХ (р) jj A-L <и (?> Р)>.
о ^
откуда уже легко можно нолучить дифференциальное уравнение
259
для <и (х)У.
-^г<и(х, р)> = A_l<u> + (и(х, р)> ^1пф,(р). (2.2')
Введем характеристический функционал поля е (х, р):
X
Ф* № (?, Р')] = <(ехр |i dp's (?, р') (?, р')|^> =
О
= ехр {0х[^(я',р')]}.
Тогда уравнение (2.2') можно переписать в виде
¦^<">= о5гЛХ<"> + 0хГ4-Й(р-р')1 <">.
{и (0, р)) = и0(р)
(2.2")
Аналогичным образом можно получить уравнения для моментов поля
произвольного порядка
Pl, • • ч Pn! Pli • • ч Рт) ==
= (и (х, Рх)... и (х, р") и* (х, pi)... и* (х,
рт)>.
Для этого необходимо сначала записать дифференциальное уравнение для и
(х, pi)... и* (х, р^), а затем преобразовать его в ин-тегро-
дифференциальное уравнение типа (1.4). После этого, используя (2.1),
можно выполнить усреднение. Уравнение для Мп>т, полученное таким образом
в [113], имеет вид
Мп т(х, {р^}, {Pj}) =
= М°({р{}, {p'})<^expji-J-jj d\ [?/(?, p.) - ^е(|, pj)
=1
+
+
Л A l<- III
^-J^^expji-I-Jdrif^e^, Pi)-^e(Ti, pj)]}^
j-1
X
x (Z~ Yj \) M"*m (1, {pib {p^>)' (2-3)
где {pj - совокупность всех рг, через M°n,m обозначена величина
{p;})="0(pi).• -Mo(pn)"?(pi) -¦ -"j(pj-Соответствующее
дифференциальное уравнение имеет вид [114]
- М
дх Л1п-т
=^(?а-,-ЁчК"+
/=1 к =1
п т
+в* [~ Yi6 (р' - - 4 Z6 (р'"р*}]Мп'т • (2-3,)
к =1
260
При выводе уравнений (2.3), (2.30 было Ипользовано свойство дельта-
коррелированпости функции е (х, р) вдоль направления распространения
волны, а закон распределения не конкретизировался. Рассмотрим теперь
частный случай гауссовских флуктуаций поля е (х, р). В этом случае
статистические характеристики е полностью описываются корреляционной
функцией
<е (х, р) е (х, р')> = Вг(х, р; х', р').
Условие дельта-коррелироватшости эквивалентно замене Вг на эффективную
корреляционпую функцию
В1ФФ (х, р; х', р') = 6 (х - х') А (х; р, р'), (2.4)
где А определяется из условия равенства интегралов по х' от В, и В1ФФ:
ос
А(х; р, р') = J йх'Вг(х, р; х, р').
- сх
Для статистически однородного поля е функция А не зависит от х, т. е. А =
А ( р- р'). В рассматриваемом случае функционал (c)ж имеет вид
X
(c)х № (Ъ 9)] = - -у ^ dp^A (Pi - р2) (I, Pi) я]) (?, р2)
о
и уравнение (2.3') принимает вид
Мп> m = "Ь • • • + - ^1 - • • • - Am] ^п, m -
¦ "g- Q (P^ • • • i 9rn) mi (2-5)
где
n n n m mm
(2.6)
Если мы рассматриваем гауссовские дельта-коррелированные флуктуации
е, то совокупность уравнений (2.5), а также уравнение для
характеристического функционала поля и можно получить и другим методом
[115]. Проиллюстрируем его на примере уравнения для (и). Усредняя (1.2),
получим
(2ik1Ь + Л-) 'и(х' + №<е(х, р)и(х, р)> = 0. (2.7)
Для нахождения последнего слагаемого используем формулу (2.3.6'):
(е(г)Л [е]> = ^ , (2.8)
261
позволяющую вычислять корреляцию гауссовской Случайной функции е (г) "е
(г)} = 0) с функционалом R от нее. Так как решение и (ж, р) уравнения
(1.2) является функционалом от е, то, применяя (2.8), можно получить
Я
<8 (ж, р)и(х, р)>= 5 dx' jj dp' <е (х, р) 8 (ж' , р')> • (2.9)
о
Подставляя вместо <е (х, р) е (х, р')) эффективную корреляционную функцию
