Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
(если F ~ оо, то пучок коллимированный, если F ~^> 0 - пучок
расходящийся, если F < 0 - сфокусированный на расстоянии х = \ F [).
Функция (q, р), входящая в (2.19), в этом случае равна
Yo(ff, Р) = ехр - -
и для средней интенсивности в пучке <7 (х, _В)> == Г2 (х, R, 0) получаем
[110]
</ (х, И)) = ~иок а С dt tJ0 (2kaRt/xg (ж)) х
:t:2g2U-) J
>• "ф <*"(-rerf 'I • (*•")
[1 i
- + -j- J- и J0-функция Бесселя.
В работах [125, 126] экспериментально проверялись зависимости (2.19),
(2.24) и обнаружено их хорошее согласие с опытными данными.
Отметим, что для пучка (2.23) решение уравнения (1.2) в случае
отсутствия неоднородностей имеет вид
, . u" f ра 1 - ika^iF 1 /П . о,.
щ(х, р, _ j 2^2 j __ хц, + "./-"2 } • (2- 8.)
Интенсивность волны в этом случае будет описываться выражением
г / \ I н() |2/i2a4 Г р2/с2а2 "I /о о/'\
/о(Я, р)= -L-L-- схр ¦ (2-24)
Также нетрудно получить и решение уравнения (2.16), описывающего
продольную корреляцию в волне. Оно имеет вид
Г (х, рх; у, р2) =
= ехр |----Л (0) (ж - ?/)j ^ dp'g (х - у, р')Т2(у; рх - р\ р2)
(ж>//), (2.19")
где g (ж, р) = 2^- ехр - функция Грина уравнения (1.2) в
отсутствие неоднородностей, т. е. при е = 0.
Что касается уравнения для Г4 и уравнений, описывающих более высокие
моменты флуктуаций интенсивности, то, как указывалось выше, их
аналитического решения получить не удается,
268
Приближенное решение уравнения (2.13) (с учетом однократного рассеяния в
смысле теории переноса излучения) приведено в [110] для случая
турбулентных флуктуаций е. В работе [127] приводятся результаты
численного решения этого уравнения в двумерном случае. В этой работе
получено поведение флуктуаций интенсивности, качественно согласующееся с
экспериментальными результатами, описанными в [99]. В работе [128]
приводятся результаты численного интегрирования уравнения (2.13) в
трехмерном случае для гауссовской корреляционной функции диэлектрической
проницаемости. В этом случае также получено насыщение флуктуаций
интенсивности, качественно согласующееся с результатами [99]. В работе
[129] уравнение (2.13') в случае турбулентных пульсаций е интегрировалось
численным методом - методом Монте-Карло. При этом полученные результаты
также согласуются с экспериментальными данными.
Функция Г4 описывает также флуктуации смещения пространственно-
ограниченных пучков в случайно-неоднородных средах. Так, для дисперсии
положения центра тяжести интенсивности волны в пучке, согласно (1.20),
имеем
Г X X
<Рс (Х)> = 5 jj (Х - ?l) (Х ~ ?2) Х
0 о о
X fdR^R^/fa, R1)I(U, -Ra)VJIle(i1,.R1)VJIle(i2, Жа)>. (2.25)
Используя условие дельта-коррелированности, в выражении (2.25) можно
расщепить корреляции интенсивности и е в силу того, что
6/ (I, R) 0 6е(?, R')
W (?li Rl) W (?¦>, Ri) t \ Q/t t \ ___ п
.v .тг ье р') ~6 (si - ьу0(1а - S0 = 0.
Это позволяет переписать (2.25) в виде
ДГ
<Рс И> = jj dz (х - ^ jj dR1dR, </ (Е, Вг) I (?, R2)> X
0 о
X jj dx х2Ф&(и) ехр {ix (Rx - R2)}- (2.26)
Воспользовавшись теперь фурье-преобразованием для интенсивности волны
'У (х, х) = jj dR I (х, R) ехр {- ixR),
?f*(x, х) = ,У (х, - х), формулу (2.26) можно записать
следующим образом:
СС
= х)р>. (2.27)
0 о
269
Величина <| i) (?, к) |2> описывается функцией Г4, аналитического
выражения для которой не имеется. Поэтому при дальнейшем изучении (2.27)
приходится использовать различные приближения. Анализ таких приближений
проводился в работах [110]. Отметим, что по мере распространения
волнового пучка в случайнонеоднородной среде начальное распределение
интенсивности "расплывается". Флуктуации положения центра тяжести
определяются, таким образом, двумя эффектами: средним уширением пучка и
флуктуациями интенсивности относительно этого уже уширенного среднего
профиля. Для учета первого эффекта следует заменить Cl (Е, и) на (|, и)>
в (2.27), и формула (2.27) принимает вид
<Pt(x)> = -^^dt(x-t)^dxx*(I>E(K)\0(Z, к)>|2, (2.27')
О
где величина 0 (|, и))> находится из выражения (2.19).
Рассмотрим теперь задачу о нахождении статистических характеристик
волны, отраженной от зеркала. Поле отраженной волны описывается
выражением (1.15). Предполагая статистическую независимость флуктуаций
параметров среды от характеристик зеркала, усредняя выражение (1.15),
получаем выражение для среднего отраженного поля [109]:
